La geometría celeste

Copérnico

Copérnico nació en Torun (Polonia) el 19 de Febrero de1473 y murió en Frauenberg en 1543. En 1543 se publicó el libro De Revolutionibus, en este libro rompe con la concepción Ptolemaica del universo (Teoría Geocéntrica) y expone su concepción Heliocéntrica del universo. Su solución exige que se admitan los postulados siguientes:

El mundo (universo) es esférico.
La tierra también es esférica.
Que el movimiento de los cuerpos celestes es uniforme, circular o compuesto de movimientos circulares y uniformes.
El movimiento de rotación de la Tierra de Oeste a Este será observado como un movimiento de la bóveda celeste en sentido contrario.
Qué la tierra no es el centro del Universo, sino el Sol.
El cielo es inmenso en comparación con la Tierra.
Que las retrogresiones de los movimientos de los planetas no son más que aparentes y no movimientos verdaderos y son debidas al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol.
Que los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas concéntricas en el orden: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. La Luna a su vez gira alrededor de la Tierra.

Actividades

Cálculo de la distancia del Sol a los planetas

Se llama elongación de un planeta al ángulo planeta-Tierra-Sol (véase el dibujo).

Este ángulo es variable en función de las posiciones de los tres astros, pero en el caso de Venus, la figura muestra que su elongación no puede pasar de un cierto valor máximo que se alcanza cuando la línea Tierra-Venus es tangente a la órbita venusiana.

Sabiendo que el valor máximo de la elongación de Venus es de unos 46°, calcula la distancia del Sol a Venus. (Nota: tomad distancia Sol-Tierra = 150.000.000 Km; tanto este problema como el siguiente los propuso Copérnico en su obra de Revolutionibus).

Conjunción, cuadratura y oposición

La elongación de Marte no tiene ningún valor límite por ser su órbita exterior a la terrestre. En la figura se destacan algunas de las distintas posiciones que puede tomar Marte: conjunción, cuadratura y oposición.

Copérnico sabía que Marte completa su órbita en 387 días y que la Tierra lo hace en 365 días y cuarto. También sabía que desde la cuadratura hasta la oposición transcurren 106 días:

Calcula los ángulos T₂-S-T₃ y M₂-S-M₃ (corresponden a los ángulos recorridos por la Tierra y Marte en los 106 días que separan la cuadratura de la oposición)
Con los datos anteriores, estudia el triángulo S-T₂-M₂
Aprovechando los datos obtenidos en los apartados anteriores, calcula la distancia Tierra-Marte.

Tycho Brahe.

Tycho Brahe (1546-1691) nació en Suecia, que entonces formaba parte de Dinamarca. Tycho no aceptó nunca la teoría copernicana y su sistema era una mezcla del sitema de Ptolomeo y la nueva concepción copernicana: para él la Tierra estaba fija en el centro del Universo, mientras que el Sol y la Luna giraban en torno de ella. El resto de los planetas giraban no alrededor de la Tierra, sino alrededor del Sol.
Su modelo supone pues un paso atrás en la explicación del sistema solar. El mérito de Tycho consistió en su habilidad y su paciencia en la observación. Los datos que obtuvo en toda su vida fueron determinantes para conseguir la descripción correcta del movimiento planetario.

Kepler (1571-1630)

Kepler (de nacionalidad Alemana) se hizo cargo del puesto de Tycho cuando este murió (1601), y , por tanto, quedó al cargo de todos sus datos. Kepler adoptó y defendió la teoría copernicana.
Inicialmente Kepler elaboró una teoría mística sobre el sistema solar mediante construcciones geométricas con polígonos regulares y sólidos regulares. Necesitaba más datos para esta construcción y Tycho era la persona que los tenía. El primer problema que se planteó fué determinar la órbita de Marte a partir de los datos que tenía Tycho. Kepler dijo que resolvería el problema en 8 días que se convirtieron en 6 años, pero del trabajo realizado para resolver este problema obtuvo las leyes definitvas que explican el movimiento de los planetas.

La ley de Bode

La mejor aproximación que se conoce para determinar la distancia de los planetas al Sol es la ley de Bode: "tómese la serie 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96,... , y añádase 4 a cada término; luego divídase por 10". Esto da la serie 0.4; 0.7; 1; 1.6; 2.8; 5.2; 10; ... Si admitimos que la distancia de la Tierra al Sol es 1, se obtiene que las distancias de Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno son de aproximadamente 0.39; 0.72; 1.52; 5.2 y 9.54. Por tanto, al eliminar 2.8 de la serie de Bode, el resto de la serie nos da una aproximación a las distancias de los primeros 6 planetas al Sol. Esta Ley funcionó también para Urano (descubierto en 1781): distancia de Bode 19.6; distancia real 19.18. Con Neptuno (38.8 contra 30.07) aumentó la diferencia, y con Plutón (77.2 contra 39.5) se comprobó su ineficacia.

Cómo construir una elipse

La elipse puede trazarse colocando unas "chinchetas" fijas en S y T y "clavando" un cordel con las dos "chinchetas", después pasamos el lápiz M, tal como indica la línea de puntos, y moviendo el lápiz de tal modo que el cordel se mantenga tenso.

S y T se llaman los focos de la elipse.
AB se llama el eje mayor de la curva. El punto O, centro de AB, se llama centro. CD se llama eje menor de la elipse.
Si dividimos OS por OA, la fracción resultante se llama excentricidad de la elipse. Cuando la excentricidad es pequeña, los focos se encuentran cerca del centro, y la elipse se parece a una circunferencia. Si la fracción es grande, los focos distan del centro y la elipse es más alargada. Las órbitas planetarias tienen excentricidades que varían de 0.007 (Venus) a 0.2 (Mercurio) y, por tanto, se parecen mucho a una circunferencia.

Para un punto cualquiera P situado sobre la curva obtenida, ¿a qué es igual la suma de las distancias de P a cada una de las chinchetas (PS+PT)

Las Leyes de Kepler.

1º Ley de Kepler (1609): Ley de las órbitas elípticas.

Los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.

Actividades

Se llama unidad astronómica (U.A.) a la distancia de la Tierra al Sol .

La distancia máxima de Saturno al Sol es de 10.09 U.A., y la distancia mínima es de 9 U.A. Calcula la excentricidad de la órbita.
Infórmate de cuándo pasó por última vez y cuándo volverá a pasar cerca de la Tierra el cometa Halley. Sabiendo que su excentricidad es de 0.9673 y la distancia mínima al Sol es de 87.8 millones de Km, calcula su distancia máxima al Sol.
Sabiendo que la distancia máxima de la Tierra a la Luna es de 407.600 Km (apogeo) y que la distancia mínima es de 356.700 Km (perigeo), dibuja a la escala que creas conveniente la Tierra, la Luna y la órbita que la Luna describe alrededor de la Tierra.
Las órbitas planetarias tienen excentricidades que varían desde 0.007 (venus) a 0.2 (Mercurio). Dibuja dos elipses con los mismos semiejes mayores con estas excentricidades, y una circunferencia de centro el punto medio del segmento que une los dos focos y de radio el semieje mayor común de las elipses. Compara las figuras.
La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse en la cual el Sol se encuentra en uno de los focos. ¿En qué época del año crees que está la Tierra más cerca del Sol?¿Dependen las estaciones de la distancia de la Tierra al Sol? ¿por qué?

2ª Ley de Kepler (1609): Ley de las áreas.

En un mismo intervalo de tiempo el segmento que une el Sol y el planeta barre la misma área en cualquier lugar de su órbita elíptica. Es decir, la velocidad con que se mueven los planetas no es uniforme sino que un planeta gira a más velocidad si está más cerca del Sol.

3ª Ley de Kepler (1619): Ley de los tiempos

El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol, donde la distancia media al Sol es la mitad de la longitud del eje mayor de la órbita. Si T es el periodo y D la distancia media al Sol entonces la razón es la misma para todos los planetas.

Actividades

La tercera ley de Kepler describe cómo varía la velocidad de traslación de la órbita de la Tierra alrededor del Sol. El punto en que la Tierra está más cerca del Sol se denomina perihelio y el punto en que está más alejada afelio.

¿Dónde se mueve la Tierra con más rapidez, en el afelio o en el perihelio?
¿En qué mes del año en que estamos es mayor la velocidad de la Tierra en su órbita alrededor del Sol? ¿dónde está la Tierra en ese momento, en el afelio o en el perihelio?
¿En qué mes es mínima la velocidad?

Calcula la constante que verifican todos los planetas del sistema solar a partir de la 3ª ley de Kepler. (El semieje mayor de la órbita de la Tierra es de 152.100.000 Km)
Si la distancia máxima al Sol de los planetas Saturno y Urano es de 9.6 y 19.6 U.A. respectivamente (distancias aproximadas) calcula el periodo en que completan su órbita alrededor del Sol.
Sabiendo que el tiempo que tardan Mercurio y Júpiter en realizar un giro completo alrededor del Sol es 88 días para Mercurio y 11 años y 10 meses para Júpiter (aproximadamente) calcula el semieje mayor de la elipse que describe en su movimiento.
Tomando como semieje mayor de la Tierra una U.A., calcula el semieje mayor de la órbita del cometa Halley. Compara este resultado con el anteriormente obtenido.
El planeta Neptuno tiene una órbita cuya distancia media al Sol es de 2,7963 miles de millones de millas y una excentricidad de 0,0082. El planeta Plutón gira en una órbita cuya distancia media al Sol es de 3,666 miles de millones de millas y su excentricidad es de 0,2481. Comprueba que Plutón está en algunas ocasiones más cercano al Sol que Neptuno (esto ocurrirá desde 1969 hasta el 2009).