Números irracionales

Hacia 1500 el cero fue aceptado como un número y los números irracionales se usaban más libremente. Pacioli,  el matemático alemán Michael Stifel (1486?-1567), el ingeniero militar Simón Stevin (1548-1620) y Cardan usaban los números irracionales según la tradición de indios y árabes. Así Stifel trabajó con irracionales de la forma . Cardan racionalizó fracciones con raíces cúbicas en ellas. La amplitud con que se usaban los irracionales está ejemplificada por la expresión de Vieta para $\pi$(el símbolo $\pi$ lo usó por vez primera William Jones en 1706). Considerando polígonos regulares de 4, 8, 16... lados inscritos en un círculo de radio unidad, Vieta encontró que el valor de $\pi$ viene dado por

$$\frac{2}{\pi}=\cos\frac{90^{\circ}}{2}\cdot\cos\frac{90^{\circ}}{... ...frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}}\cdots$$

Aunque los cálculos con irracionales continuaban libremente, el problema de si los irracionales eran realmente números aún inquietaba a la gente. En su mayor trabajo, la Arithmetica Integra (1544), que trata de aritmética, los irracionales en el décimo libro de Euclides, y álgebra; Stifel opina sobre expresar los irracionales en notación decimal. Por una parte argumenta:

Ya que, como prueban las figuras geométricas. cuando los números racionales nos fallan los irracionales toman su lugar y prueban exactamente aquellas cosas que los números racionales no podrían probar... somos movidos y obligados a afirmar que verdaderamente son números, a esto nos mueven los resultados que se siguen de su uso -resultados que nosotros percibimos como reales, ciertos y constantes. Por otra parte, otras consideraciones nos compelen a negar que los números irracionales sean números del todo. Cuando tratamos de someterlo a numeración (representación decimal)... encontramos que huyen perpetuamente, así que ninguno de ellos puede ser aprehendido con precisión... No puede llamarse un número verdadero el que es de tal naturaleza que carece de precisión... Por lo tanto, así como un número infinito no es un número, un número irracional no es un número verdadero, pues encubre uno infinito.

Entonces argumenta que los números reales son todos o números o fracciones; obviamente los irracionales no son ni lo uno ni lo otro, luego no son números reales.

Un siglo después, Pascal y Barrow dijeron que un número tal como $\sqrt{3}$ podía ser entendido solamente como una magnitud geométrica; los números irracionales son meros símbolos que no tienen existencia independiente de las magnitudes geométricas continuas, y la lógica de las operaciones con irracionales debe ser justificada por la teoría de Eudoxio sobre magnitudes. Esta era también la opinión de Newton en su Arithmetica Universalis (publicada en 1707 pero basada en lecturas de treinta años antes).

Otros afirmaron que los números irracionales eran entidades independientes. Stevin reconoció los irracionales como números y los aproximó de forma cada vez más cerrada por racionales; John Wallis en Álgebra (1685), también aceptó los irracionales como números en el sentido pleno. El consideraba el quinto libro de los Elementos de Euclides como esencialmente aritmético. También Descartes en Rules for the Direction of the Mind (1628), admitió los irracionales como números abstractos que pueden representar magnitudes continuas.