Números complejos

Sin haber superado totalmente sus dificultades con los números irracionales y negativos los europeos aumentaron sus problemas entrando en lo que ahora conocemos por números complejos. Obtuvieron estos nuevos números al extender la operación aritmética raíz cuadrada a cualquier número que aparecía al resolver ecuaciones cuadráticas. Así Cardan, en el capítulo 37 de Ars Magna (1545), plantea y resuelve el problema de dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40. La ecuación es x(10-x)=40. Obtiene las raíces $5+\sqrt{-15}$ y $5-\sqrt{-15}$y entonces dice: descartando las torturas mentales que lleva consigo multiplicar $5+\sqrt{-15}$ y $5-\sqrt{-15}$; el producto es 25-(-15) o 40. Entonces declara así progresa la sutileza aritmética cuyo fin, como se ha dicho, es tan refinado como inútil. Como veremos pronto, Cardan llego a enredarse más con los números complejos en su solución de ecuaciones cúbicas. Bombelli también consideró los números complejos en la solución de ecuaciones cúbicas y formuló prácticamente en la forma moderna las cuatro operaciones con estos números; pero el aún los consideraba como inútiles y sofisticados. Albert Girard reconoció los números complejos al menos como soluciones formales de ecuaciones. En L'Invention nouvelle en l'algèbre dice, uno podría decir: ¿qué uso tienen estas soluciones imposibles (raíces complejas)?. Yo respondo: para tres cosas -por la certidumbre de las leyes generales, por su utilidad, y porque no hay otras soluciones. Sin embargo los puntos de vista avanzados de Girard no tuvieron influencia.

Descartes también rechazó las raíces complejas y acuñó el término imaginario. Dice en La Géométrie, ni las verdaderas ni las falsas (negativas) raíces son siempre reales; en ocasiones son imaginarias. Argumenta que, mientras que las  raíces negativas pueden al menos ser hechas reales transformando la ecuación dónde aparecen en otra cuyas raíces sean positivas, esto no se puede hacer para las raíces complejas. Descartes hizo una distinción más clara que sus predecesores entre raíces reales e imaginarias de las ecuaciones.

Incluso Newton no consideraba las raíces complejas como significativas, quizás porque en su época carecían de significado físico. De hecho dice en Universal Arithmetic, Pero es justo que las  Raíces de ecuaciones tienen que ser a  menudo imposibles (complejas), para que no se tengan que mostrar casos de Problemas que son imposibles como si fueran posibles. es decir, problemas que no tienen una solución real física o geométricamente tendrían raíces complejas.

La falta de  claridad sobre los números complejos está ilustrada por la declaración de Leibniz, El Espíritu Divino descubrió una sublime salida en esa maravilla del análisis, ese portento del mundo ideal, esa ambivalencia entre ser y no ser que nosotros llamamos raíz imaginaria o unidad negativa. Aunque Leibniz trabajó formalmente con números complejos no entendía su naturaleza.