Problemas Clásicos

Aristarco

    Aristarco de Samos, nació hacia el 310 a. C. Puede considerarse como el mayor astrónomo de la antigüedad. A él se deben las primeras estimaciones para calcular la proporción entre la distancia de la Tierra al Sol y de la Tierra a la la Luna. Además, Aristarco propuso un modelo astronómico heliocéntrico y heliostático, adelantándose en 1.800 años al modelo de Copérnico.

Actividades

Distancias Tierra-Sol y Tierra-Luna

    Las fases de la Luna vienen determinadas por las posiciones relativas del Sol, la Tierra y la Luna. El Sol siempre ilumina media esfera lunar, pero desde la Tierra unas veces vemos la semiesfera completamente iluminada  (luna llena) y otras sólo vemos una parte de la semiesfera (cuarto creciente o menguante) o no la vemos (luna nueva). Aristarco dedujo que cuando la Luna estaba exactamente en cuarto creciente el triángulo formado por la Tierra, la Luna y el Sol era rectángulo, ya que el ángulo TLS era recto.  Mediante la observación directa podemos  determinar el ángulo LTS, cuyo vértice es nuestro planeta. Aristarco halló para  este ángulo un valor de 87°.
    1. Calcula las razones entre las distancias Tierra-Luna y Tierra-Sol.
    2. Aristarco se equivocó, por falta de medios técnicos, en la medición del ángulo LTS. El valor real es de 89° 51´. Repite el problema con esta nueva medida. Compara los resultados de este apartado y el anterior.
    3. Sabiendo que la distancia TS es de 150.000.000 Km aproximadamente, calcula TL a partir de las relaciones obtenidas en los apartados a) y b).

Tamaños del Sol y de la Luna.

    Al observar los eclipses de luna Aristarco pudo comprobar que el cono de sombra proyectado por la Tierra, cuando lo atraviesa la Luna, es de unas dos veces el tamaño del diámetro lunar. Si  llamamos RS, RT y RL a los radios del Sol, la Tierra y la Luna respectivamente, y DS y DL a las distancias Tierra-Sol y Tierra-Luna:
    Demuestra por la semejanza de los triángulos BCD y ABE que . A partir de la relación anterior, tomando como DS=19DL y RS=19RL, halla la relación que Aristarco encontró para los radios del la Luna y de la Tierra.
 

Eratóstenes (275-194 a. C.)

    Uno de sus resultados más importantes es que determinó con un error más que aceptable el radio de la Tierra (por tanto, ya sabían que era redonda). Eratóstenes hizo un mapa del mundo conocido. Considerando la limitación de los medios de transporte de la época, su mapa del área mediterránea es muy apreciable. Las zonas extremas del mapa son las más descuidadas, por carencia de datos.

Actividades

Tamaño de la Tierra

    Localiza Adra (Almería) y Sestao (Vizcaya) en un mapa de España, calcula la distancia a que se encuentran; supongamos que están situadas en un mismo meridiano. Calcula la latitud en que se encuentran ambas ciudades.
  1. Realiza un dibujo que represente los datos del problema.
  2. ¿Cuánto vale el ángulo formado por las semirrectas que parten del centro de la Tierra y pasan por las dos ciudades?
  3. Calcula el radio de la Tierra, y la longitud de un meridiano.

Cálculo del tamaño de la Tierra según Eratóstenes.

    Eratóstenes conocía el hecho de que en Siene (actual Assuan, ciudad de Egipto situada aguas arriba en el Nilo),  había un pozo muy profundo en el que el 21 de Junio, al mediodía,  los rayos solares incidían en el fondo. Admitió también que ese mismo día y a la misma hora, en la ciudad de Alejandría (situdad según él en el mismo meridiano más al Norte), el Sol formaba con la vertical un ángulo de 1/50 del ángulo completo. Puesto que el Sol está tan lejos de la Tierra, los rayos solares deben llegar paralelos tal cual se ilustra en la figura, donde A es Alejandría y S Siene:

Sabía que Siene se encuentra a unos 5.000 estadios (unidad de medida usada por los griegos) al Sur de Alejandría. Con estos datos halla:

  1. ¿Cuánto vale el ángulo central?
  2. ¿Cuánto mide el radio de la Tierra en estadios?
  3. Si admitimos que cada estadio es aproximadamente 157,5 metros, ¿cuál es el valor que obtuvo Eratóstenes para el radio de la Tierra?
  4. Con las dos ciudades anteriores (Adra y Sestao), ¿se puede resolver el problema de forma análoga a como lo hizo Eratóstenes?
    La mayor dificultad con que se encontró Eratóstenes fue la de obtener una medida correcta de la distancia de Alejandría a Siene; de hecho, Siene no está exactamente al Sur de Alejandría, ni el Sol está precisamente encima de la ciudad ese día. Hubo pues, en sus cálculos, tres fuentes de error, y Eratóstenes tuvo la suerte de que el efecto de uno de los errores quedara casi compensado por los de los otros dos, obteniendo un resultado más que aceptable.
  1. Antes de Eratóstenes se realizó un cálculo de la circunferencia de la Tierra usando la misma técnica. La única diferencia fue que el ángulo fue medido en Lysimachia en vez de en Alejandría los datos obtenidos fueron:
    2. Con estos datos halla el radio de la Tierra en estadios y en kilómetros. ¿Qué resultado es mejor?

Jugando con el Calendario Juliano

    Eratóstenes es el autor del calendario Juliano, en el que cada 4 años hay uno que tiene un día más. Esto supone admitir que el año tiene exactamente 365 días y ¼. Fue adoptado por los romanos bajo el gobierno de Julio César, en el año 45 a. C. Como el año real contiene algo menos de 365 días y ¼, este calendario produce un error de unos 3 días cada 400 años.  Para subsanar este error, en 1582 el Papa Gregorio XIII establece un nuevo calendario (calendario Gregoriano) en el que no son bisiestos los años cuyos números sean divisibles por 100 pero no por 400 y, además, se suprimen diez días (del 4-10-1582 al 15-10-1582). Así por ejemplo, 1800 y 1900 no han sido bisiestos; lo serán en cambio 2000 y 2400. El error se reduce así a 1 día cada 4000 años aproximadamente.
    1. Halla el número de años bisiestos que según el calendario Juliano habría entre los años 2.000 y 3.000.
    2. Haz lo mismo para el Calendario Gregoriano. Compara los resultados.
    En 1582 José Scaliger fijó una escala continua de tiempo fijando su origen el 1 de Enero del año 4713 aC a las 12 del mediodía, esta forma de contar el tiempo se llama fecha juliana. El applet que sigue calcula dicha fecha si le damos como entrada una fecha en formato "actual". Por defecto toma como fecha de entrada la fecha del ordenador. Para obtener la fecha juliana del 10 de Julio de 1997 a las 12 horas escribiremos Jul 10 12:0:0 1997 y debería obtenerse 2.450.640 como resultado. Hay que aclarar que el mes hay que escribirlo con las tres primeras letras en Inglés, por ejemplo, enero se escribiría Jan:
Usando este applet obtén:
  1. La fecha juliana actual.
  2. La fecha juliana del año 1 de nuestra era a las 12 del mediodia.
  3. La fecha juliana del 4-10-1582
  4. La fecha juliana del 15-10-1582. Comenta qué ocurre.

Claudio Ptolomeo

    Claudio Ptolomeo, vivió durante el siglo II de nuestra era. Su contribución no consiste en la aportación de grandes ideas nuevas, sino en estudiar la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas y hacer un tratado que resumía toda la Astronomía griega.

    Al comienzo de su tratado Sintaxis Matemática más conocido por el nombre árabe del Almagesto, enuncia los supuestos iniciales de su Astronomía:

  1. "... los cielos son esféricos y se mueven circularmente a un eje fijo"
  2. "La figura de la Tierra es claramente esférica"
  3. "La Tierra está exactamente en el centro de los cielos como un punto geométrico"
  4. "El objetivo que el astrónomo debe afanarse por conseguir es éste: demostrar que todos los fenómenos del firmamento son producidos por movimientos circulares y uniformes". "Cualquier figura distinta de la circular que se suponga para el movimiento celeste, entrañaría distancias desiguales desde la Tierra hasta las diferentes partes de los cielos, lo que no se observa". "Además, nos hemos propuesto la tarea de demostrar que las aparentes irregularidades de los 5 planetas, el Sol y la Luna pueden representarse por medio de movimientos circulares y uniformes porque sólo tales movimientos son apropiados para su divina naturaleza. Y estamos autorizados a considerar el cumplimiento de esta tarea como el objetivo último de la ciencia matemática basada en la filosofía".
  5. "Todos los cuerpos pesados caen al centro de los cielos. Así pues, la Tierra que es el más pesado de los 4 elementos (agua, aire, tierra, fuego) cae al centro".

Explicación del sistema Ptolemaico.

  Hay que distinguir entre planetas exteriores -Marte, Júpiter y Saturno- y planetas interiores -Mercurio y Venus-.
Consideremos la figura que sigue en la que T es la Tierra, S el Sol y J júpiter:
    Supongamos que estamos mirando el dibujo desde un punto situado en la vertical del Polo Norte de la Tierra y que F es una estrella fija. El Sol gira alrededor de la Tierra, de Oeste a Este, una vez en un año. El punto A se mueve alrededor de la Tierra, también de Oeste a Este, con una traslación completa en unos 12 años. El círculo por el que se mueve A se llama deferente de Júpiter. Júpiter  gira mientras tanto alrededor de A en un círculo menor llamado epiciclo, de forma que AJ es siempre paralela a TS. Cuando la situación es la de la figura 1, el movimiento de J respecto de A tiene el mismo sentido que el de A respecto de F. Visto desde T, J parece moverse de Oeste a Este a más velocidad que A. Seis meses después, la posición será la de la figura 2. El Sol ha recorrido la mitad de su órbita alrededor de la Tierra, mientras que el punto A no ha recorrido más que 1/24 de la suya. AJ se ha movido manteniéndose paralela a ST, y el movimiento de J respecto de A es ahora retrógrado. El movimiento de J en su epiciclo es más rápido que el de A por el deferente. Por tanto, visto desde T, J se mueve ahora de Este a Oeste pero no tan rápidamente como se movía antes de Oeste a Este.
    Con este modelo no se consiguió explicar el movimiento aparente de Júpiter alrededor de la Tierra. En realidad, Júpiter,  no sigue exactamente el punto J (Figura 1). Para explicar exactamente su movimiento aparente fue necesario introducir otro punto J´ que describiera un epiciclo aún menor alrededor de J, y aún un tercer punto J´´ que describiera un nuevo epiciclo menor entorno de J´, y así sucesivamente. Júpiter era el punto que describía el último de los epiciclos. Con un cálculo meticuloso de las dimensiones y las velocidades de todos esos epiciclos, y admitiendo que la Tierra no estaba en el centro del deferentePtolomeo consiguió finalmente reproducir el movimiento aparente de Júpiter.

 

Actividades


APPLET PARA SIMULAR ESTA TRAYECTORIAA la combinación de movimientos consistente en que cada vez que el planeta da una vuelta sobre el epiciclo mientras que el centro del epiciclo da una vuelta sobre el deferente, ambos en el mismo sentido, la representaremos con la notación (1e, 1d).
Como se puede ver en el dibujo, para obtener las posiciones sucesivas del planeta y trazar aproximadamente su órbita, hay que medir los ángulos como está indicado:

    en la posición P´ el centro del epiciclo ha avanzado un ángulo , arrastrando con él el propio epiciclo y al planeta situado en él. A su vez, el epiciclo ha girado un ángulo alrededor de su centro, de forma que la posición del planeta es la indicad. En las posiciones sucesivas se miden los ángulos de la misma manera.
     
     
  1. Si con (Xe, Yd) notamos el epiciclo en el cual el planeta da X vueltas sobre el epiciclo, mientras que el centro del epiciclo da Y vueltas sobre el deferente (ambos en el mismo sentido), representa los epiciclos (3e,1d), (5e,1d) y (5e,2d).