El estudio de la compatibilidad de un sistema a partir de un parámetro es una de las cuestiones que se estudia en 2º de bachillerato. El objetivo del fichero LyX/pythontex/sympy que se muestra es el de poder crear diferentes ejercicios de este tipo en el que las raíces del polinomio que se obtiene al calcular el determinante de la matriz de coeficientes sean enteras. Además, se resuelve el sistema para un caso en el que se obtiene un sistema compatible y determinado y otro en el que el sistema es compatible indeterminado.
El fichero LyX que se puede descargar al final del artículo permite obtener, manteniendo el mismo esquema, diferentes ejercicios del tipo:
Considera el sistema de ecuaciones \(\begin{cases} -2x+y\left(-t-2\right)+4z & =8\\ x\left(-t-1\right)-2y+4z & =6\\ -x-y+z\left(3-t\right) & =t+11 \end{cases}\)
- Estudia la compatibilidad del sistema a partir del parámetro \(t\).
- Resuelve el sistema por el método de Gauss para \(t=2\).
- Resuelve el sistema para \(t=-2\).
Comento de forma resumida el proceso seguido para construir los ejercicios. Con dos números enteros que se obtienen de forma aleatoria se crea un polinomio de grado 3 (el primer valor es una raíz simple y la otra doble) que es el polinomio característico de la matriz de coeficientes. Se crea la matriz compañera de ese polinomio y se transforma, a partir de una matriz invertible aleatoria de determinante 1, hasta obtener una matriz no demasiado trivial que será nuestra matriz de coeficientes. Esa matriz tendrá como determinante el polinomio con las dos raíces enteras aleatorias. En el código pythontex del fichero Lyx se explica de forma más detallada.
Podemos modificar los valores entre los que se crea esa matriz invertible desde:
#Matriz invertible de determinante 1, para "enmascarar" la matriz de coefientes
control=True
while control:
Aux=randMatrix(3,3,-1,1)
if Aux.det()==1:
control=False
Por defecto la matriz invertible solo toma los números \(-1\), \(0\) y \(1\). Podemos modificarlos, para ello solo tenemos que cambiarlos en la parte que se lista en el recuadro anterior del código python del fichero LyX randMatrix(3,3,-1,1). El tomarlos así es para que no salgan números muy grandes.
Los datos que permiten generar los problemas se obtienen de forma aleatoria a partir de los valores:
#DATOS A MODIFICAR EN EL PROBLEMA #Si queremos que el parámetro aparezca también en la matriz de términos # independientes, para cualquier otro valor diferente de 's' solo pone números pB='s' #Raíces enteras del polinomio característico o del determinante de la matriz de # coeficientes, la primera será una raíz simple y la segunda doble #Para que funcione todo bien el valor máximo de la primera # raíz debe ser menor que el mínimo de la segunda #Si se ponen números mayores pueden salir números muy grandes r1=random.randint(-2,-1) r2=random.randint(0,2) #Punto para resolver el sistema compatible y determinado #Lo tomo así para que salgan soluciones enteras pt=r2+1
La matriz de términos independientes se obtiene a partir de:
#Construyo una matriz aleatoria que tiene las soluciones del primer
#caso para que salga SCI para r1.
Xauxr1=randMatrix(3,1,-2,2)
# Tal cual está, sé que para la raíz 1 el sistema es compatible indeterminado
# y casi siempre incompatible para la raíz 2.
B=Mcr1*Xauxr1
#Pongo un parámetro también en B, es opcional y se opta por esto al principio
if pB=='s':
c=random.randint(0,2)
B[c]=B[c]-r1+t
y de nuevo se pueden modificar los rangos de los valores entre los que se obtiene. Tomar el rango entre \(-2\) y \(2\) es para que los números sean manejables.
Para obtener diferentes ejercicios no es necesario modificar esos valores, pero podemos hacerlo a nuestro gusto. A partir de los valores que se han obtenido en la simulación realizada y con la que se ha generado el enunciado anterior, la solución del problema que se obtiene es:
Solución
\(\left|M_{c}\right|=\)\(\left|\begin{matrix}-2 & -t-2 & 4\\ -t-1 & -2 & 4\\ -1 & -1 & 3-t \end{matrix}\right|\)\(=t^{3}-3t+2=\left(t-1\right)^{2}\left(t+2\right)\) \(\Rightarrow\left(t-1\right)^{2}\left(t+2\right)=0\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{cc} t= & -2\\ t= & 1 \end{array}\right.\)
Usando el Teorema de Rouché–Frobenius:
Si \(t\neq-2\) y \(t\neq1\) \(\Rightarrow\left|M_{c}\right|\neq0\Rightarrow Rango(M_{c})=Rango(M_{a})=3=\) \(={\textstyle N\text{º}\,\,Inc\acute{o}gnitas}\Rightarrow SCD\)
Si \(t=-2\), tenemos que \(M_{a}=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 4 & 8\\ 1 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 5 & 9 \end{pmatrix}\). Si hacemos Gauss en la matriz ampliada se obtiene algo similar a
\begin{align*} M_{a}=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 4 & 8\\ 1 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 5 & 9 \end{pmatrix}\hookrightarrow\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 2 & -6 & -10\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\hookrightarrow\\ \hookrightarrow\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 1 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}Por tanto \(Rango(M_{a})=2=Rango(M_{c})=2\Rightarrow\) SCI que depende de un parámetro.
Si \(t=1\), tenemos que \(M_{a}=\begin{pmatrix}-2 & -3 & 4 & 8\\ -2 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 2 & 12 \end{pmatrix}\) . Si hacemos Gauss en la matriz ampliada se obtiene algo similar a
\begin{align*} M_{a}=\begin{pmatrix}-2 & -3 & 4 & 8\\ -2 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 2 & 12 \end{pmatrix}\hookrightarrow\begin{pmatrix}-2 & -3 & 4 & 8\\ 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}\hookrightarrow\\ \hookrightarrow\begin{pmatrix}-2 & -3 & 4 & 8\\ 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}Por tanto \(Rango(M_{a})=3\)\(\neq\) \(Rango(M_{c})=2\Rightarrow\) es un \(\mathtt{\text{SI}}\).
Para \(t=2\) quedaría el sistema de matriz ampliada \(M_{a}=\begin{pmatrix}-2 & -4 & 4 & 8\\ -3 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 1 & 13 \end{pmatrix}\) y ya sabemos que el sistema es compatible y determinado. Si hacemos Gauss en la matriz ampliada se obtiene algo similar a
\begin{align*} \begin{pmatrix}-2 & -4 & 4 & 8\\ -3 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 1 & 13 \end{pmatrix}\hookrightarrow\begin{pmatrix}-1 & -2 & 2 & 4\\ 0 & -4 & 2 & 6\\ 0 & 0 & -2 & 42 \end{pmatrix}\hookrightarrow\\ \hookrightarrow\begin{pmatrix}-1 & -2 & 2 & 4\\ 0 & -2 & 1 & 3\\ 0 & 0 & -1 & 21 \end{pmatrix} \end{align*}A partir de lo anterior, resolviendo el sistema escalonado, se obtiene de solución:
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & -22\\ y & = & -12\\ z & = & -21 \end{array}\right. \end{equation*}Para \(t=-2\) ya sabemos que el sistema es compatible indeterminado y que la matriz ampliada es \(M_{a}=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 4 & 8\\ 1 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 5 & 9 \end{pmatrix}\). Basándonos en lo que ya hemos obtenido anteriormente, tenemos que
\begin{equation*} \begin{pmatrix}-2 & 0 & 4 & 8\\ 1 & -2 & 4 & 6\\ -1 & -1 & 5 & 9 \end{pmatrix}\hookrightarrow\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 1 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}y se obtiene de solución:
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2t-4\\ y & = & 3t-5\\ z & = & t \end{array}\right.\,\,t\in\mathbb{R} \end{equation*}
Enlaces a la descarga de los ficheros, fichero fuente y el pdf final de una posible compilación.