Números negativos

Hacia 1700  los números enteros, fracciones, irracionales y números negativos y complejos eran conocidos. En cualquier caso, la oposición a los nuevos tipos de números se expresó durante el siglo. Son típicas las objeciones del matemático inglés Baron Francis Masères (1731-1824). Masères publicó en 1759 su Dissertation on the Use of Negative Sign in Algebra. Muestra cómo evitar los números negativos, y especialmente las raíces negativas, por una cuidadosa separación de los tipos de ecuaciones cuadráticas, de manera que aquellas con raíces negativas se consideran separadamente; y, por supuesto, las raíces negativas son rechazadas. Hace lo mismo con las cúbicas. Masères dice de las raíces negativas: ... sólo sirven, hasta donde puedo juzgar, para embrollar toda la doctrina de ecuaciones, e interpretar las cosas oscuras y misteriosas que hay en su naturaleza excede lo claro y simple... Por consiguiente sería deseable que las raíces negativas nunca hubieran sido admitidas en el álgebra o que fueran descartadas de nuevo de ella: pues si se hiciera esto, hay buenas razones para imaginarlo, las objeciones que muchos eruditos hacen ahora a los cálculos algebraicos. como que son oscuros y confusos con nociones casi ininteligibles, serían con eso removidas; es cierto que el Algebra, o aritmética universal, es por naturaleza una ciencia no menos simple, clara, y susceptible de demostración que la geometría.

Euler (1707-83), en la última mitad del siglo XVIII, aún creía que los números negativos eran mayores que infinito. También argumentaba que (-1) (-1)=+1 porque el producto debía ser +1 ó -1 y puesto que 1 (-1)=-1, entonces (-1) (-1)=+1. Carnot pensaba que el uso de números negativos llevaba a conclusiones erróneas. En 1831 Augustus De Morgan (1806-71), profesor de matemáticas en el University College de Londres, decía: la expresión imaginaria $\sqrt{a}$ y la expresión negativa -b tienen esta semejanza, que cada una de ellas como solución de un problema indican alguna inconsistencia o absurdo. En cuanto al significado real, ambas son igualmente imaginarias, puesto que 0-a es tan inconcebible como $\sqrt{a}$.

De Morgan ilustraba esto mediante un problema: Un padre tiene 56 años, su hijo 29. ¿Cuándo será el padre dos veces más viejo que el hijo?. Resuelve 56+x=2(29+x) y obtiene x=-2. Así, dice, el resultado es absurdo. Pero, continúa, si cambiamos x por -x y resolvemos 56-x=2(29-x), obtenemos x=2. Concluye que hemos redactado el problema original de forma equivocada y así damos una inaceptable respuesta negativa. De Morgan insistía en que era absurdo considerar números menores que cero.