Introducción

En el siglo XIX la teoría de números tuvo una serie de resultados aislados aunque brillantes.

Karl-Friedrich Gauss (1777-1875) nació en Gotinga el 30 de Abril de 1777. En 1798 Gauss, en su tesis de doctorado demostró que

Teorema 20   toda ecuación polinómica, p(x)=0 posee al menos una raíz, Cualquiera que sea la naturaleza real o imaginaria de los coeficientes de la ecuación.

Dará más adelante otras tres demostraciones del mismo teorema fundamental del álgebra en trabajos subsiguientes.

Una nueva era comenzó con las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, que redactó a los 20 años. Este gran trabajo fue enviado a la Academia Francesa en 1800 y fue rechazado pero Gauss la publicó el mismo. En este libro estandarizaba la notación, sistematizaba y ampliaba la teoría de existencia, y clasificaba los problemas para su estudio y los métodos conocidos e introducía nuevos métodos. En el trabajo de Gauss sobre teoría de números hay tres ideas esenciales:

• la teoría de congruencias,
• la introducción de los números algebraicos, y
• la teoría de formas como la principal idea en el análisis Diofantino.

Este trabajo no sólo comenzó la moderna teoría de números sino que determinó las direcciones de trabajo en el tema hasta el presente. El tratado comprende un prefacio seguido de 7 secciones:

1. Números congruentes en general.
2. Congruencias de primer grado.
3. Residuos de potencia.
4. Congruencias de segundo grado.
5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado.
6. Diversas aplicaciones de las nociones estudiadas anteriormente.
7. Ecuaciones que definen las secciones de un  círculo.

Otro gran desarrollo durante el siglo XIX es la teoría analítica de números, que usa el análisis junto al álgebra para tratar problemas que atañen a los enteros. Los líderes en esta innovación fueron Dirichlet y Riemann.