La teoría de congruencias

Aunque la noción de congruencia no se originó con Gauss -aparece en el trabajo de Euler, Lagrange y Legendre- Gauss introdujo la notación en la primera sección del Disquisitiones y la usó sistemáticamente de allí en adelante. La notación por congruencia y la terminología se introducen al comienzo de la sección I de la manera siguiente:

Definición 21 Si un número a divide a la diferencia de los números b y c, se dicen congruentes según a, si no, incongruentes. El número a se llamará el módulo. Si los números b y c son congruentes, entonces cada uno de ellos es residuo del otro, si no, son no residuos.

Ejemplo 22 La idea básica es simple. El número 27 es congruente a 3 módulo 4, 27 $\equiv$ 3 módulo 4, porque 27-3 es divisible exactamente por 4. Como Gauss demuestra, todos los residuos de a módulo m, para a y m fijos, vienen dados por a+km donde k=0,1, 2...

Las congruencias con respecto al mismo módulo pueden ser tratadas hasta cierto punto como ecuaciones. Tales congruencias pueden sumarse, restarse y multiplicarse.

Al comienzo de la sección II, Gauss demuestra el teorema de la descomposición única de un número compuesto en factores primos y después presenta un corto estudio sobre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Viene a continuación el estudio de la congruencia de primer grado ax+b $\equiv$ c: esta congruencia posee siempre una solución cuando el módulo es primo con respecto a a, y si v es un valor apropiado de x, es decir una raíz de la congruencia, todos los números congruentes con v con respecto al módulo c son también raíces de la congruencia. Por consiguiente, Gauss saca la conclusión de que la congruencia x $\equiv$ v (mód m) proporciona la solución completa de la congruencia ax+b $\equiv$ c. El teorema básico sobre congruencias polinómicas, que Gauss redemostró en la sección segunda, ya había sido establecido por Lagrange.

Teorema 23 Una congruencia de grado n-ésimo $Ax^{n}+Bx^{n-1}+\cdots+Mx+N\equiv0\:(m\acute{o}d\:p)$ cuyo módulo es un número primo p que no divide a A no puede tener más que n raíces no congruentes.

En la tercera sección Gauss trabaja con residuos de potencias. Aquí da una demostración del teorema menor de Fermat en términos de congruencias, el teorema enunciado en términos de congruencias es:

El teorema se obtiene de su estudio de congruencias de mayor grado, es decir, $x^{n}\equiv a\:(m\acute{o}d\:m)$ donde a y m son primos relativos. Este tema continuó en estudio después de Gauss.

En el artículo 76, Gauss se refiere al teorema de Wilson y, después de haber discutido las contribuciones de Lagrange y de Euler a la demostración de este teorema, presenta una generalización del mismo en los siguientes términos:

Teorema 25 El producto de todos los números inferiores a un número dado A y al mismo tiempo primos con relación a ese número, es congruente relativamente a A con más o menos la unidad.

Así, cuando A es de la forma $p^{n}$ o $2p^{n}$ en donde p es un número primo diferente de 2, y también cuando A=4, Gauss afirma que se debe tomar -1; en caso contrario, +1.

Definición 26 Si p es un primo y a no es múltiplo de p y si existe una x tal que x² $\equiv$ a módulo p, entonces a es un residuo cuadrático de p; de otro modo a es un residuo no cuadrático de p.

Después de demostrar algunos teoremas subordinados a los residuos cuadráticos, de los que señalamos :

Teorema 27 -1 es un residuo cuadrático de todos los números de la forma 4n+1 y un no residuo de todos los números de la forma 4n+3.

+2 es un no residuo, -2 es un residuo de todos los números primos de la forma 8n+3.

2 son no residuos de todos los números primos de la forma 8n+5.

3 son no residuos de todos los números primos de la forma 12n+5.

-3 es un no residuo, +3 es un residuo de todo número primo de la forma 12n+11.

Gauss dio la primera demostración rigurosa de la ley de reciprocidad de cuadrados, ley que Gauss enuncia:

Teorema 28 Si p es un número primo de la forma 4n+1, +p será un residuo o un no residuo de todo número primo que, tomado positivamente, sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma 4n+3, -p tendrá la misma propiedad.

Se supone que Gauss descubrió una demostración de la ley en 1796, cuando tenía 19 años. Dio otra demostración en las Disquisitiones y después publicó otras cuatro. Entre sus documentos sin publicar se encontraron dos más. Gauss dice que buscó muchas demostraciones porque deseaba encontrar una que pudiera ser usada para establecer el teorema de reciprocidad bicuadràtica. La ley de cuadrados recíprocos, que llamó la gema de la aritmética, es un resultado básico sobre congruencias. Después que Gauss diera sus demostraciones, se dieron más de 50 por matemáticos posteriores.

Gauss también estudió las congruencias de polinomios. Si A y B son dos polinomios en x con coeficientes reales entonces se pueden encontrar polinomios únicos Q y R tales que A=BQ+R donde el grado de R es menor que el grado de B. Se puede entonces decir que dos polinomios A1 y A2 son congruentes módulo un tercer polinomio P si tienen el mismo resto R al dividirlos por P.

La sección V, consagrada a las formas y a las ecuaciones indeterminadas de segundo grado, cubre más de la mitad de su célebre tratado.

El objetivo principal considerado por Gauss en su estudio de la teoría de las formas consiste en elaborar un conjunto de teoremas de la teoría de números. Además, muestra como utilizar esta teoría de las formas para demostrar cierto número de teoremas sobre los enteros. Por ejemplo, Gauss demuestra que

Teorema 29 todo número primo de la forma 4n+1 puede ser representado como una suma de cuadrados, de una única manera, y que todo número primo de la forma 8n+1 o 8n+3 puede ser representado mediante la forma x²+2y² para x e y enteros, de una única manera, etc.

Subrayemos algunas aplicaciones a propósito de las formas ternarias: la primera demostración del teorema de que

Gauss consagra la sección VI a diversas aplicaciones de la teoría de números a diferentes ramas de las matemáticas. Así, trata de la resolución de fracciones por descomposición en fracciones simplificadas y la conversión de fracciones ordinarias en fracciones decimales. A continuación, presenta un nuevo método de exclusión aplicable a la resolución de las ecuaciones indeterminadas de segundo grado. Finalmente, ofrece nuevos métodos para distinguir los números primos de los compuestos, métodos que permiten encontrar los factores primos de los números compuestos.

En la última sección de sus Disquisitiones, Gauss establece la teoría general de las funciones circulares.

Cauchy (1789-1857) definió los números complejos por congruencias polinómicas. Así si f(x) es un polinomio con coeficientes reales entonces al dividir por x²+1 f(x) $\equiv$ a+bx (mod x²+1) porque el resto es de menor grado que el divisor. Aquí a y b son necesariamente reales en virtud del proceso de división. Si g(x) es otro polinomio similar entonces g(x) $\equiv$ c+dx (módulo x²+1).

Cauchy apunta que si $A_{1}$ , $A_{2}$ y $B$

son polinomios cualquiera y si $A_{1}=BQ_{1}+R_{1}$ y $A_{2}=BQ_{2}+R_{2}$ , entonces $A_{1}+A_{2}\equiv R_{1}+R_{2}\:(m\acute{o}d\:B)$ , y $A_{1}\cdot A_{2}\equiv R_{1}\cdot R_{2}\:(m\acute{o}d\:B)$ . Por tanto, se tiene que $f(x)+g(x)\equiv(a+c)+(b+d)x\,\,(m\acute{o}d\,\,x^{2}+1)$ y como $x^{2}\equiv-1\,\,(m\acute{o}d\,\,x^{2}+1)$ que $f(x)g(x)\equiv(ac-bd)+ad+bc)x\,\,(m\acute{o}d\,\,x^{2}+1)$ . Así los números a+bx y c+dx combinan como números complejos; esto es, tienen las propiedades formales de los números complejos, tomando x en lugar de i. Cauchy también demostró que todo polinomio g(x) no congruente a 0 módulo x²+1 tiene un inverso, es decir, un polinomio h(x) tal que h(x)g(x) es congruente a 1 módulo x²+1.

Cauchy introdujo i por x siendo i para él una cantidad real indeterminada y demostró que $f(i)\equiv a_{0}-a_{2}+a_{4}-\cdots+(a_{1}-a_{3}+a_{5}-\cdots)i\,\,(m\acute{o}d\,\,i^{2}+1)$ . Por consiguiente cualquier expresión con números complejos se comporta como una de la forma c+di y se tienen todos los instrumentos necesarios para trabajar con expresiones complejas. Para Cauchy, entonces, los polinomios en i, con su idea sobre i, toman el lugar de lo números complejos y se pueden incluir en una clase todos aquellos polinomios que tienen el mismo residuo módulo i²+1. Estas clases son los números complejos.

Es interesante que en 1847 Cauchy aún tenía recelos sobre $\sqrt{-1}$ . Dice, en la teoría de equivalencias algebraicas sustituida por la teoría de números imaginarios la letra i deja de representar al signo simbólico $\sqrt{-1}$ , que repudiamos completamente y que podemos abandonar sin pena puesto que uno no sabe qué significa este supuesto signo ni qué sentido se le atribuye. Por el contrario representamos con la letra i una cantidad real pero indeterminada y al sustituir el signo $\equiv$ por = transformamos lo que ha sido llamado una ecuación imaginaria en una equivalencia algebraica relativa a la variable i y al divisor i²+1. Puesto que este divisor es el mismo en todas las fórmulas se puede dispensar de escribirlo.

En la segunda década del siglo Gauss continuó la búsqueda de leyes de reciprocidad aplicables a congruencias de grado más alto. Estas leyes de nuevo incluían residuos de congruencias. Así para la congruencia $x^{4}\equiv q\,\,(m\acute{o}d\,\,p)$ se puede definir q como un residuo bicuadrático de p si hay un valor entero de x que satisfaga la ecuación. Llegó a una ley de reciprocidad bicuadràtica y una de reciprocidad cúbica. La mayoría de este trabajo apareció en documentos de 1808 a 1817 y el propio teorema sobre residuos bicuadráticos fue dado en 1828 y 1832.

Para conseguir elegancia y simplicidad en su teoría de los residuos bicuadráticos y cúbicos Gauss usó los enteros complejos, es decir, números de la forma a+bi con a y b enteros o 0. En el trabajo de Gauss sobre residuos bicuadráticos fue necesario considerar el caso donde el módulo p es un primo de la forma 4n+1 y Gauss necesitó los factores complejos en los que se podían descomponer números primos de la forma 4n+1. Para obtener estos Gauss comprendió que uno debe ir más allá del dominio de los enteros ordinarios para introducir los enteros complejos. Aunque Euler y Lagrange habían introducido dichos enteros en la teoría de números fue Gauss quien estableció su importancia.

Mientras que en la teoría ordinaria de enteros las unidades son +1 y -1 en la teoría de Gauss de enteros complejos las unidades son 1 y i. Un entero complejo se llama compuesto si es el producto de dos de tales enteros ninguno de los cuales es una unidad. Si una descomposición así no es posible el entero se llama primo. Así 5=(1+2i)(1-2i) y es compuesto, mientras que tres es un complejo primo.

Gauss demostró que los complejos enteros tienen esencialmente las mismas propiedades que los enteros ordinarios. Euclides había probado que todo entero se puede descomponer de forma única como un producto de primos. Gauss demostró que esta descomposición única, que es a menudo referida como el teorema fundamental de la aritmética, se mantiene también para los enteros complejos a condición de que no consideremos los 4 números unidad como factores distintos. Esto es, si a=bc=(ib)(-ic), las descomposiciones son la misma. Gauss también demostró que el proceso de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos enteros es aplicable a los enteros complejos.

Muchos teoremas para los primos ordinarios se pasaron a los primos complejos. Así el teorema de Fermat paso a la forma:

Teorema 32 Si p es un primo complejo a+bi y k cualquier entero complejo no divisible por p entonces $k^{N_{p}-1}\equiv1\,\,(m\acute{o}d\,\,p)$ donde $N_{p}$ es la norma (a²+b²) de p.

Hay también una ley de cuadrados recíprocos para enteros complejos, que fue enunciada por Gauss en su documento de 1828.

En términos de enteros complejos Gauss pudo enunciar la ley de reciprocidad bicuadràtica de una forma sencilla.

Definición 33 Se define un entero impar como uno no divisible por 1+i. Un entero impar primario es un entero impar a+bi tal que b es par y a+b-1 es par.

Teorema 35 si $\alpha$ y ß son dos primos impares primarios y A y B son sus normas, entonces

$\displaystyle \left(\alpha/\beta\right)_{4}=\left(-1\right)^{\frac{A-1}{4}\frac{B-1}{4}}\left(\beta/\alpha\right)_{4}$

El símbolo $\left(\alpha/\beta\right)_{4}$ tiene el siguiente significado: si p es cualquier primo complejo y k cualquier residuo bicuadrático no divisible por p, entonces $\left(k/p\right)_{4}$ es la potencia $i^{e}$ de i que satisface la congruencia $k^{\frac{N_{p}-1}{4}}\equiv1\,\,(m\acute{o}d\,\,p)$ donde Np representa la norma de p. Esta ley es equivalente al enunciado:

Teorema 36 los caracteres bicuadráticos de dos números primos impares primarios respecto uno de otro son idénticos, esto es, $\left(\alpha/\beta\right)_{4}=\left(\beta/\alpha\right)_{4}$ , si cada uno de los primos es congruente a 1 módulo 4; pero si ninguno de los primos satisface la congruencia, entonces los dos caracteres bicuadráticos son opuestos, esto es, $\left(\alpha/\beta\right)_{4}=-\left(\beta/\alpha\right)_{4}$ .

Gauss enunció este teorema de reciprocidad pero no publicó su demostración. Esta fue dada por Jacobi en sus conferencias en Könisberg en 1836-37. Ferdinand Geotthold Eisenstein (1823-52), un alumno de Gauss publicó cinco demostraciones de la ley, de las que las dos primeras aparecieron en 1844.

Para la reciprocidad cúbica Gauss encontró que podía obtener una ley cuando los enteros a+bp donde p es una raíz de x²+x+1=0 y a y b son enteros ordinarios (racionales), pero no publicó este resultado. Fue encontrado en sus documentos después de su muerte. La ley de reciprocidad cúbica fue enunciada primero por Jacobi y demostrada por él en sus conferencias de Könisberg. La primera demostración publicada se debe a Eisenstein. Hay también leyes de reciprocidad para congruencias de grado mayor que cuatro.