Números algebraicos

La teoría de enteros complejos es un paso en la dirección del basto tema de la teoría de números algebraicos. Ni Euler ni Lagrange entrevieron las ricas posibilidades que abría su trabajo sobre los enteros complejos. Tampoco lo vio Gauss.

La teoría creció de los intentos para probar la afirmación de Fermat $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ . Los casos n=3, 4, y 5 habían sido ya discutidos. Gauss intentó demostrarla para n=7 pero falló. Este caso particular de n=7 fue expuesto por Lamé en 1839 y Dirichlet estableció la aserción para n=14. En cualquier caso la proposición general no fue demostrada.

Fue tomada por Ernst Eduard Kummer (1810-93), que pasó de la teología a las matemáticas, llegando a ser alumno de Gauss y Dirichlet.

Kummer tomó $x^{p}+y^{p}$ donde p es primo y lo factorizó en $(x+y)(x+\alpha y)\cdots(x+\alpha^{p-1}y)$ , donde $\alpha$ es una raíz imaginaria p-ésima de la unidad. Es decir, $\alpha$ es una raíz de

Esto le llevó a extender la teoría de Gauss de los enteros complejos a los números algebraicos que son introducidos por ecuaciones tales como

, es decir, números de la forma $f(x)=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{p-2}\cdot\alpha^{p-2}$ , donde cada $a_{i}$ es un entero ordinario (racional). Puesto que $\alpha$ satisface

, los términos en $\alpha^{p-1}$ pueden ser sustituidos por términos de potencia más baja. Kummer llamó a los números $f(\alpha)$ enteros complejos.

Sobre 1843 Kummer hizo definiciones apropiadas de entero, primo entero, divisibilidad y también cometió el error de asumir que la factorización única tenía cabida en la clase de números algebraicos que había introducido. Señaló, al enviarle su manuscrito a Dirichlet en 1843, que esta presunción era necesaria para demostrar el teorema de Fermat. Dirichlet le informó que la factorización única tenía cabida sólo para ciertos primos p. Casualmente, Cauchy y Lamé cometieron el mismo error. En 1844 Kummer asumió la corrección de la crítica de Dirichlet.

Para restaurar la factorización única Kummer creó una teoría de números ideales a partir de 1844.

Ejemplo 37 Para comprender esta idea vamos a considerar el dominio de $a+b\sqrt{-5}$ , donde a y b son enteros. En este dominio $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5)}$ y puede demostrarse que los cuatro factores son primos enteros. Luego la descomposición única no tiene cabida. Vamos a introducir, para este dominio, los números ideales $\alpha=\sqrt{2}$ , $\beta_{1}=\frac{1+\sqrt{-5}}{\sqrt{2}}$ , $\beta_{2}=\frac{1-\sqrt{-5}}{\sqrt{2}}$ .

Vemos que $6=\alpha^{2}\beta_{1}\beta_{2}$ . Así 6 está expresado ahora únicamente como el producto de 4 factores, todos números ideales por lo que se refiere al dominio $a+b\sqrt{-5}$ .

En términos de estos ideales y otros primos la factorización en el dominio es única (aparte de los factores que constituyen las unidades). Con números ideales se pueden demostrar algunos de los resultados de la teoría de números ordinaria en todos los dominios que previamente carecían de factorización única.

Los números ideales de Kummer, aunque números ordinarios, no pertenecen a la clase de números algebraicos que el había introducido. Por otra parte los números ideales no fueron definidos de forma general. Por lo que se refiere al teorema de Fermat, con sus números ideales Kummer tuvo éxito en demostrar que era correcto para un número de números primos. En los primeros cien enteros sólo 37, 59, y 67 no fueron cubiertos por la demostración de Kummer. En un documento de 1857 Kummer extendió sus resultados a estos primos excepcionales. Estos resultados fueron más extendidos por Dimitry Mirimanoff (1861-1945), un profesor de la universidad de Génova, que perfeccionó el método de Kummer. Mirimanoff probó que el teorema de Fermat es correcto para todo n menor de 256 si x,y, y z son primos para ese exponente n.

Richard Dedekind (1831-1916), un alumno de Gauss, se aproximó al problema de la factorización única de una manera completamente nueva. Dedekind publicó sus resultados en el apéndice 10 de la segunda edición de Zahlentheorie de Dirichlet (1871), que Dedekind editó. Amplió estos resultados en los apéndices de la tercera y cuarta edición del mismo libro. Creó la moderna teoría de números algebraicos.

La teoría de números algebraicos de Dedekind es una generalización de los enteros complejos de Gauss y los números algebraicos de Kummer, pero la generalización tiene algunas diferencias con los enteros complejos de Gauss.

Definición 38 Un número r que es una raíz de

$\displaystyle A_{0}x^{n}+A_{1}x^{n-1}+\cdots+A_{n-1}x+A_{n}=0$

(3.3.2)

, donde las $A_{i}$ son enteros ordinarios (positivos o negativos), y tal que no es una raíz de una ecuación de grado menor que n, se llama un número algebraico de grado n. Si el coeficiente de la mayor potencia de x en

es uno, las soluciones se llaman enteras algebraicas de grado 1.

La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos son enteros algebraicos; y si un entero algebraico es un número racional es un entero ordinario.

Debemos señalar que bajo las nuevas definiciones un entero algebraico puede contener fracciones ordinarias.

Ejemplo 39 Así $\frac{-13+\sqrt{-115}}{2}$ es un entero algebraico de segundo grado porque es una raíz de x²+13x+71=0. Por otro lado $\frac{1-\sqrt{-5}}{2}$ es un número algebraico de grado dos pero no un entero algebraico, porque es una raíz de 2x²-2x+3=0.

Dedekind introdujo después el concepto de cuerpo y anillo, y demostró que el conjunto de todos los números algebraicos forma un cuerpo (y en particular un anillo).

En el anillo de enteros de un cuerpo específico de números algebraicos la factorización en primos de los enteros algebraicos es siempre posible pero la factorización única generalmente no tiene cabida. De hecho para dominios de la forma $a+b\sqrt{-D}$ , donde D es cualquier entero positivo no divisible por un cuadrado, el teorema de la factorización única es válido solamente cuando D=1,2,3,7,11,19,43,67 y 163 (al menos para valores de D hasta $10^{9}$ ). Así los números algebraicos por si mismos no poseen la propiedad de la factorización única.

Habiendo generalizado la noción de número algebraico, Dedekind se comprometió a restaurar la factorización única en los cuerpos de números algebraicos mediante un sistema diferente al de Kummer. En lugar de números ideales introdujo clases de números algebraicos a las que llamó ideales en honor a los números ideales de Kummer.

Definición 40 Sea K un cuerpo específico de números algebraicos. Un conjunto de enteros A de K se dice que forma un ideal si para todo $\alpha$ , ß $\in$ A se tiene que µ $\alpha$ +rß $\,\in$ A con µ, r $\in$ K. Un ideal A se dice generado por los enteros algebraicos $\alpha_{1},\,\ldots,\,\alpha_{n}\in K$ si todo elemento de A es de la forma $\mu_{1}\alpha_{1}+\cdots+\mu_{n}\alpha_{n}$ , con $\mu_{i}\in K$ . Este ideal se nota como $\left(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\ldots,\,\alpha_{n}\right)$ .

Un ideal A se llama principal si está generado sólo por el entero $\alpha$ , por tanto $\left(\alpha\right)$ consiste en todos los enteros algebraicos divisibles por $\alpha$ .

Para abordar el problema de factorización debemos considerar primero el producto de dos ideales. El producto del ideal $A=\left(\alpha_{1},\,\ldots,\,\alpha_{s}\right)$ y el ideal $B=\left(\beta_{1},\,\ldots,\,\beta_{t}\right)$ de K se define como el ideal:

$\displaystyle AB=\left(\alpha_{1}\beta_{1},\,\alpha_{1}\beta_{2},\,\ldots,\,\al... ...{1}\beta_{t}\ldots,\,\alpha_{i}\beta_{j},\,\ldots,\,\alpha_{s}\beta_{t}\right)$

Es evidente que este producto es conmutativo y asociativo. Con esta definición podemos decir que A divide a B si existe un ideal C tal que B=AC. Se escribe A/B y A se llama un factor de B. Los ideales que son los análogos de los números primos ordinarios se llaman ideales primos. Tal ideal P se define como aquel que no tiene otros factores más que él mismo y el ideal (1), así que P no está contenido en cualquier otro ideal de K. Por esta razón un ideal primo se llama también maximal. Todas estas definiciones y teoremas conducen a los teoremas básicos para ideales de un cuerpo K de números algebraicos.

Teorema Cualquier ideal es divisible solamente por un número finito de ideales y si un ideal primo divide el producto AB de dos ideales (de la misma clase numérica) divide A o B.

La respuesta a la pregunta de en qué cuerpos de números algebraicos de la forma $a+b\sqrt{D}$ (D entero) existe factorización única viene dada por el teorema de que

Teorema 42 la factorización de los enteros de un cuerpo de números algebraicos K en primos es única si y solamente si todos los ideales en K son principales.

Por tanto, la teoría de ideales de Dedekind suministra los conceptos y propiedades en el dominio de números algebraicos que permiten establecer la factorización única.

El trabajo sobre la teoría de números algebraicos fue culminado en el siglo XIX por Hilbert.