Teoría de los números irracionales. Axiomas de Peano

William Rowan Hamilton (1805-1865), nació el 3 de Agosto de 1805 en Dublín. En dos memorias leídas ante la Academia Real de Irlanda en 1833 y 1835 respectivamente, y que serían publicadas con el título de Algebra as the science of pure times... (El álgebra como la ciencia del tiempo puro...), escoge el tiempo como el concepto fundamental del que deduce la noción de unidad. Citado por Manheim, escribe: La idea de la continuidad de la progresión de un momento a otro en el tiempo engloba la idea de una progresión continua de manera semejante en las cantidades... Prosiguiendo esta sucesión de ideas, nos vemos obligados a concebir... la existencia de un número determinado o de una razón a que es la raíz cuadrada exacta de todo número positivo propuesto o razón b.

Hamilton sugiere la idea de la partición de los racionales en dos clases (cortadura de Dedekind) y define un número irracional como el representante de tal partición. Hamilton asegura que existe un conjunto infinito de números entre dos números racionales. Si A y B son dos conjuntos infinitos de números racionales tales que cada elemento de A es inferior a todo elemento de B, y además, si los elementos de A y B están definidos en extensión, puede ocurrir que no haya ningún número racional entre A y B. A partir de una intuición de la continuidad del tiempo, Hamilton sugirió, en esta etapa, que esos conjuntos A y B podían servir para determinar los números irracionales. Partiendo de una media proporcional entre dos números positivos, enuncia que si a>n'/m' cuando n'²/m'²<b y si a<n”/m” cuando n”²/m”²>b, entonces $a=\sqrt{b}$. Así, $\sqrt{b}$ es una partición determinada por dos sucesiones $\left\{ \mu_{i}\right\}$ y $\left\{ \nu_{i}\right\}$ con la propiedad de que $\mu_{i}^{2}<b<\nu_{_{j}}^{2}$, donde i, j= 1, 2, .... Hamilton no desarrolló más su teoría de los números irracionales, y toda ella se basaba esencialmente en determinar los números irracionales mediante los números racionales. Hamilton desarrolla los números complejos en términos de parejas ordenadas de números reales de una manera casi idéntica a la que se utiliza en las matemáticas modernas.

Charles Méray (1835-1911), pone de manifiesto el hecho que consiste en definir el número irracional como el límite de una sucesión de números racionales, sin tener demasiado en cuenta que la existencia misma del límite presupone una definición de los números reales.

Méray emplea la palabra número para designar el número racional, y una cantidad µ es llamada variable progresiva si puede tomar un número infinito de valores sucesivos de un conjunto $\left\{ \mu_{n}\right\}$; Méray define a continuación la convergencia de la variable progresiva µ en términos de $\vert\mu_{n+p}-\mu_{n}\vert\rightarrow0$ con 1/n, cualquiera que sea el valor asignado al límite. Así, existen dos tipos de sucesiones convergentes. La primera verifica la condición de que

$$\exists\,N:\,\forall\,\delta>0\,\exists\,n:\,\forall\,m\leq n,\,\... ...\,\Rightarrow\,\,\vert\mu_{n+p}-\mu_{n}\vert\rightarrow0\,\,\,\,con\,\,\,\,1/n$$

y la segunda corresponde a la condición siguiente: el N definido anteriormente no existe y µ no tiene límite, pero puede verificarse $\vert\mu_{n+p}-\mu_{n}\vert\rightarrow0\,\,\,\,con\,\,\,\,1/n$.

Las sucesiones convergentes sin límite se llaman límites ficticios y, en términos de números, Méray las llama números ficticios. A continuación, Méray muestra como la ordenación de estos números ficticios puede ser referida al esquema de la ordenación de los números, así como extiende todas las operaciones entre números racionales a estos números ficticios, que nosotros llamamos números irracionales. A título de ejemplo, Méray explica la significación de $\sqrt{a}$ cuando a no es un cuadrado. Según su teoría, $\sqrt{a}$ es el límite ficticio de toda variable progresiva µ cuyo cuadrado se aproxima a a, y si la variable $\nu$ es tal que $\mu_{i}-\nu_{j}\,\rightarrow\,0$, se dice entonces que el límite ficticio de $\nu$ es también $\sqrt{a}$.

Weierstrass intentó separar el cálculo diferencial e integral de la geometría y hacer reposar todo ese cálculo sobre el concepto de número. Para realizar este nuevo enfoque, de la misma manera que Méray, se dio cuenta de que era necesario definir el número irracional independientemente del concepto de limite.

Weierstrass define una cantidad numérica como un conjunto dado de elementos de los que se conoce el número de veces que cada elemento aparece en el conjunto. El número de elementos es finito o infinito, pero el número de veces que un elemento aparece en el conjunto es necesariamente finito. En el caso finito, el conjunto se dice finito, y es igual a la suma de los elementos. La igualdad de dos conjuntos finitos se obtiene cuando las sumas respectivas son iguales. Los enteros como 1, 2, ... se llaman cantidades numéricas absolutas mientras que las partes de un entero, como por ejemplo 1/3, son las fracciones.

Una cantidad numérica absoluta a contiene un número racional absoluto r si un agregado parcial $\alpha$ igual a r puede ser sustraído de a. La cantidad numérica absoluta a se dice finita si existe un número racional p tal que todo número racional contenido en a es mas pequeño que p. Dos cantidades numéricas absolutas finitas a y b serán iguales sólo si todo número racional contenido en a está también contenido en b. En el caso de que a contenga un número racional que no sea elemento de b se dice que a es mayor que b. La suma de a y b es la cantidad numérica c definida como el conjunto cuyos elementos son aquellos que aparecen en a o en b, de manera que cada elemento de c sea igual al número de veces que un elemento $\alpha$ aparece en b. El producto de a y b se define como la cantidad numérica absoluta que se obtiene con los agregados cuyos elementos se obtienen formando de todas las maneras posibles los productos de cada elemento de a y cada elemento de b. Weierstrass extiende esta definición a la suma de un número finito de cantidades numéricas absolutas, de manera que cada cantidad de esta suma sea la suma de las componentes, y pasa a continuación a la suma de un número infinito de cantidades de una manera completamente análoga. En efecto, la suma de un número infinito de cantidades a, b, c, ... es la cantidad numérica absoluta s (agregado) cuyos elementos aparecen al menos en una de las a, b, ... , de manera que cada uno de los elementos e está tomado un número de veces $N_{e}$ igual al número de veces que aparece en a, mas el número de veces que aparece en b, y así sucesivamente. Para asegurarse de que s es finita y determinada, es necesario que cada uno de sus componentes aparezca un número finito de veces en s. Además es también necesario y suficiente que se pueda asignar un número N tal que la suma de todo número finito de cantidades a, b, c,... , sea inferior a N. De estas definiciones, se sigue que toda cantidad absoluta es la suma de los elementos de los que está compuesta.

En la teoría de Weierstrass, los números irracionales son, pues, agregados de números racionales más que sucesiones ordenadas de números racionales, y esta teoría ofrece la ventaja de evitar el tener que recurrir de antemano a la existencia de límites.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), recibe el doctorado  en 1867 después de haber presentado una disertación sobre las Disquuisitiones arithmeticae de Gauss y la Teoría de números de Legendre.

Cantor se había interesado desde el comienzo de su carrera científica por los estudios en teoría de números; más tarde redactó un cierto número de memorias sobre las series trigonométricas. Fue ese estudio el que llevó a Cantor a la teoría de conjuntos de puntos y a los cardinales TRANSFINITOS. Además, en su décima memoria, publicada en 1872, Cantor presentó por primera vez su teoría de los números irracionales.

Heine sugirió algunas simplificaciones a la teoría de Cantor y fue así como se convino en hablar de la teoría de Cantor-Heine. Introduce una nueva clase de números, los números reales, que contiene los números racionales y los irracionales. La construcción de los número reales se efectúa sobre la base de los números irracionales partiendo de una sucesión de números racionales $\left\{ a_{i}\right\}$ que satisface la condición de que, para todo n dado, todos los miembros salvo un número finito difieren uno del otro de manera que $\left\{ a_{n}-a_{n+r}\right\} \,\rightarrow\,0\,\,\,(n\,\rightarrow\,\infty)$ para un número r cualquiera.

Definición 49   Esta sucesión, llamada fundamental, es por definición un número real, mientras que una sucesión que verifique la propiedad $\left\{ a_{n}\right\} \,\rightarrow\,0\,\,(n\,\rightarrow\,\infty)$ se llama elemental.

Dos sucesiones fundamentales $\left\{ a_{i}\right\}$ y $\left\{ b_{i}\right\}$ son iguales o representan el mismo número real sólo si la sucesión $\left\{ a_{i}-b_{i}\right\}$ es elemental. A propósito de estas sucesiones elementales, Cantor-Heine definen la sucesión nula, la sucesión positiva y la negativa. Dado un número racional arbitrario, si los términos de la sucesión para un N suficientemente grande son todos inferiores en valor absoluto a ese número racional dado, entonces la sucesión se dice nula. La sucesión se dirá positiva si para un N suficientemente grande, todos los términos son superiores a un número racional positivo dado, mientras que si todos los términos son inferiores a un número racional negativo dado, la sucesión se dirá que es negativa. A cada sucesión fundamental $\left\{ a_{i}\right\}$ cuyos términos son $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\ldots,\,a_{n}$ asocian el símbolo A y, en particular, si $a_{i}=a$ para todo i, el símbolo asociado a A es a. Esta elección del simbolismo permite así encastrar los números racionales en un nuevo conjunto, la sucesión fundamental. Por ejemplo, toda sucesión $\left\{ a_{i}\right\}$ con $a_{i}=a$ para todo i donde a sea un número racional define el número racional a.

Dadas dos sucesiones fundamentales $\left\{ a_{i}\right\}$ y $\left\{ v_{i}\right\}$, representadas por A y V, puede demostrarse que $\left\{ a_{i}+v_{i}\right\}$, $\left\{ a_{i}\cdot v_{i}\right\}$y $\left\{ \frac{a_{i}}{v_{i}}\right\}$ (con $v_{i}\neq\{0\}$) son sucesiones fundamentales. Esto define la suma A+V, el producto A V, y el cociente A/V (V$\neq$0) de dos números reales. Así mismo, se define la igualdad y la desigualdad de la misma manera:  A= V, A>V o A<V según sea A-V, igual, mayor o menor que cero.

Definen a continuación el límite de una sucesión fundamental $\left\{ a_{i}\right\}$ de la manera siguiente:

Definición 50   si existe un número racional A tal que $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(A-a_{n}\right)=0$ entonces A es el límite de $\left\{ a_{i}\right\}$.

Después muestran que si los términos de una sucesión fundamental tienen el límite racional A, entonces el símbolo A es también el asociado a la sucesión. Por ejemplo, las fracciones 0.1, 0.11, 0.111,... tienen como límite 1/9, y 1/9 es el número asociado a la sucesión {0.1, 0.11, 0.111,...}.

La extensión del concepto de límite a los números irracionales se efectúa de la manera siguiente:

Definición 51   si A es un símbolo (racional o no) y si $\lim_{i\rightarrow\infty}\left(A-a_{i}\right)=0$ , entonces A es el límite de $\left\{ a_{i}\right\}$.

Con ello puede demostrar el teorema siguiente:

Teorema 52   Si $\left\{ a_{i}\right\}$ es una sucesión cualquiera de números reales (racionales o irracionales) y si $\lim_{i\rightarrow\infty}\left(a_{i+r}-a_{i}\right)=0$, para r arbitrario, entonces existe un número real A único, determinado por la sucesión fundamental de los números $a_{i}$ con $\lim\,\,a_{i}=A$.

Es así como, determinando el límite de una sucesión fundamental (o sucesión que satisface el criterio de convergencia de Cauchy) por medio de los números existentes, llegaron a demostrar que esos números reales forman un sistema completo. Bastaba entonces poner de manifiesto que los números irracionales se forman a partir de sucesiones fundamentales que no son racionales y demostrar que todas las sucesiones  fundamentales no son necesariamente racionales.

Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) estando encargado del curso de cálculo diferencial e integral en el Politécnico de Zurich en 1858, se dio cuenta muy pronto de que la aritmética de los números reales no poseía un fundamento lógico adecuado.

Antes de abordar el estudio de los números irracionales, Dedekind presupone el desarrollo de la aritmética de los números racionales, pero llama la atención sobre un cierto número de puntos que él cree importantes, estableciendo una comparación entre los números racionales y los puntos de la recta numérica. A continuación, presenta su estudio de la continuidad de la línea recta, haciendo notar, desde el comienzo, el hecho de que en una línea recta R existe una infinidad de puntos que no corresponden a ningún número racional. Por consiguiente, la recta R es infinitamente más rica en puntos individuales que el dominio Q de los números racionales en números individuales. Esto nos conduce a completar Q creando nuevos números de manera que el campo de los números adquiera la misma continuidad que la línea recta. Insatisfecho con los métodos  habituales para introducir los números irracionales, los cuales se basan directamente en la concepción de longitudes prolongadas, propone en su lugar que la aritmética se desarrolle a partir de sí misma y el problema se reduce entonces a la determinación aritmética de la continuidad.

Como intenta definir completamente los números irracionales sólo mediante los números racionales, y dado que la comparación del dominio Q de los números racionales con la recta le lleva al reconocimiento de agujeros, de una cierta discontinuidad de los números, Dedekind plantea así la cuestión: ¿En qué consiste esta continuidad? Todo depende de la respuesta a esta cuestión y, sólo mediante ella obtendremos una base científica para la búsqueda de todos los dominios continuos. El problema consiste, pues, según Dedekind, en indicar una característica precisa de la continuidad que pueda servir de base para deducciones válidas. Por lo anteriormente dicho, se obtiene que cada punto p de una línea recta produce una separación en dos porciones tal que cada punto de una porción está situado a la izquierda de cada punto de la otra porción. Tomando la recíproca de esta proposición, Dedekind encuentra la esencia de la continuidad, y formula así su principio:

Axioma 53   Si todos los puntos de una línea recta se sitúan en dos clases tales que cada punto de la primera clase se encuentra a la izquierda de cada uno de los puntos de la segunda clase, entonces existe un único punto que produce esta división de todos los puntos en dos clases, esta separación de la línea recta en dos porciones.

Dedekind añade también que esta proposición no puede ser demostrada y que, por consiguiente, no es nada más que un axioma por el que se atribuye a la línea recta su continuidad. En la Creación de los números irracionales, Dedekind introduce su célebre cortadura al considerar la división de los números racionales en dos clases tales que todo número de la primera clase es inferior a todo número de la segunda. Esta división de los números racionales se llama una cortadura. Si las clases se designan mediante $A_{1}$ y $A_{2}$, entonces la cortadura se designa mediante $\left(A_{1},\,\,A_{2}\right)$. Puede decirse, según Dedekind, que cada número racional a produce una cortadura que posee la propiedad de que, entre los números de la primera clase, existe un número que es el mayor o que, entre los números de la segunda clase existe un número que es el menor. Inversamente, toda cortadura en los números racionales para los que existe el mayor de los números en la primera clase o el menor de ellos en la segunda, está determinada por un número racional.

Pero Dedekind añade que es fácil mostrar que existen infinidad de cortaduras que no están determinadas por números racionales. Si situamos en la primera clase todos los números racionales negativos y todos los números positivos cuyo cuadrado es inferior a 2, y en la segunda clase todos los demás números racionales, entonces esta cortadura no está determinada por ningún número racional. Para cada una de estas cortaduras, creamos un nuevo número irracional $\alpha$ que está completamente definido mediante esta cortadura; deberíamos decir que el número $\alpha$ corresponde a esta cortadura o que la produce.

Dedekind estudia, a continuación, las relaciones entre las cortaduras, con el fin de obtener una base para la disposición ordenada de todos los número reales. La comparación de dos cortaduras $\left(A_{1},\,\,A_{2}\right)$ y $\left(B_{1},\,\,B_{2}\right)$ nos permite definir la identidad y la desigualdad entre estas dos cortaduras: la identidad se denota mediante $\alpha=\beta$o $\beta=\alpha$ donde $\alpha$ y ß son los número reales que producen, respectivamente las cortaduras $\left(A_{1},\,\,A_{2}\right)$ y $\left(B_{1},\,\,B_{2}\right)$, mientras que la desigualdad implica $\alpha>\beta$ o $\beta>\alpha$. Presenta las tres propiedades fundamentales de los números reales:

Hecho 54   Si $\alpha$>ß y ß>$\gamma$ entonces $\alpha>\gamma$ y se dirá que el número ß se encuentra entre $\alpha$ y $\gamma$.

Si $\alpha$, $\gamma$ son dos números cualesquiera diferentes, entonces existe una infinidad de números diferentes ß que se encuentran entre $\alpha$ y $\gamma$.

Si $\alpha$ es un número real cualquiera, entonces todos los números reales se dividen en dos clases $A_{1}$ y $A_{2}$, de manera que cada una de ellas posee un número infinito de elementos, cada miembro de $A_{1}$ es inferior a $\alpha$ y cada miembro de $A_{2}$ es superior a $\alpha$. El número $\alpha$ puede ser asignado a cualquiera de las clases.

Además de estas tres propiedades, Dedekind añade que el dominio de los números reales posee también la propiedad de la continuidad, que se expresa de la manera siguiente:

Hecho 55   Si el sistema de los números reales está dividido en dos clases $A_{1}$ y $A_{2}$ de tal manera que cada miembro de $A_{1}$ es inferior a todos los miembros de $A_{2}$,entonces existe un único número $\alpha$ por el cual se produce esta separación.

Dedekind pasa a continuación a las operaciones con los números reales, y tan solo define de una manera explícita la operación de adición; las otra operaciones son definibles, según el autor, de una manera análoga. La adición de $\left(A_{1},\,\,A_{2}\right)$ y de $\left(B_{1},\,\,B_{2}\right)$ se define así: si c es un número racional cualquiera, lo situamos en la clase $C_{1}$, si $a_{1}$ esta en la clase $A_{1}$ y $b_{1}$ está en la clase $B_{1}$ de manera que $a_{1}+b_{1}\geq c_{1}$, y todos los demás números racionales los situamos en la clase $C_{2}$. Esta separación forma una cortadura $\left(C_{1},\,\,C_{2}\right)$, porque cada miembro de $C_{1}$ es inferior a cada uno de los de $C_{2}$.

A pesar de ciertas imprecisiones en su teoría de los números irracionales, como por ejemplo de dónde proviene el número irracional $\alpha$ que produce la cortadura, o por qué ese número $\alpha$ es distinto de la cortadura, Dedekind presentó una teoría satisfactoria lógicamente. Más tarde, se hicieron posibles algunas modificaciones de su teoría, como la de Russell para la construcción de los números reales. Todo este movimiento, emprendido con el fin de realizar la aritmetización del análisis, fue aceptado por la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, algunos se opusieron a estos programas de aritmetización, como Paul du Bois-Reymond (1831-1889), que veía en esta aritmetización una tentativa para destruir la unión necesaria entre el número y la noción de cantidad. Léopold Kronecker (1823-1891), por su parte basaba sus objeciones no en el proceso mismo de aritmetización sino, por el contrario, en su insuficiencia. Finalmente, Hermann Hankel, creador él mismo de una teoría lógica de los números racionales, se oponía al tratamiento formal de los números irracionales sin la ayuda del concepto geométrico de cantidad, por que conducía, según él, a cosas artificiales y molestas cuyo valor científico no era muy grande. Añadamos que también se dirigieron ciertas críticas contra estos programas de aritmetización, especialmente los de Cantor y Dedekind.

Quedaba por elaborar una teoría lógica de los números racionales adecuada, lo que sería obra de varios matemáticos, entre los que se puede mencionar a Martín Ohm (1792-1872), Weierstrass y su idea de la pareja de números, Dedekind y la utilización de las ideas cantorianas sobre conjuntos, y Giuseppe Peano (1858-1932).

En 1891 Peano publicó en la Rivista di Matematica una memoria titulada Sobre el concepto de número, en la que simplifica su sistema eliminando el término indefinido de la igualdad (=), y los axiomas relativos a ese término. Peano comienza su sistema con tres términos no definidos (primitivos) (utilizaremos su notación definida en 1901): cero:0, número:No, sucesor de a: a+1. El conjunto de los postulados de base pasa de cinco a seis en 1901 con la adición de: No$\in$Cls, es decir, los números naturales forman una clase. Los postulados son:

Axioma 56   No$\in$Cls (i. e. los números naturales forman una clase)

0$\in$No (i. e. cero es un número)

a$\in$No·$\supset$·$a^{+}\in$No, donde $a^{+}$es idéntico a a+1 (si a es un número, su sucesor lo es también)

$S\in Cls\cdot0\cdot\in S\,:\,x\in S\,\cdot\,\supset_{x}\,\cdot x^{+}\in S\,:\,\supset\,\cdot No\,\supset\,S$(sea S una clase y 0 un elemento de esa clase tal que si x  es un número que pertenece a S, se deduce de ello que para cualquier x su sucesor pertenece también a la clase; entonces, todo número está en S. Este postulado se llama principio de inducción)

a, b$\in$No ·a+1 = b+1 ·$\supset$a=b (sean a y b dos números; si sus sucesores son iguales, entonces a y b son iguales)

a$\in$No · $\supset$· a+1- =0 (el sucesor de un número no es nunca igual a cero).

Señalamos que Peano, y más tarde Hilbert, utilizaron el número cero como primer elemento de los naturales, mientras que Dedekind parte del número 1, lo que corresponde al uso habitual en nuestros días (entre las dos alternativas, la elección no tiene importancia en el plano teórico). Peano rescribe la aritmética partiendo de sus tres términos primitivos, de los seis postulados y del concepto de definición recursiva. Peano utilizó la recursión para definir la suma a+b y el producto axb de dos números naturales a y b como sigue:

$$\begin{array}{cc} a+0=a\,\,\,\,\,\,\,\, & a+\left(b^{+}\righ... ...,\,a\star\left(b^{+}\right)=\left(a\star b\right)+a \end{array}$$

a partir de esto estableció las propiedades habituales de asociatividad, conmutatividad y distributividad de los números naturales. Después dio la definición de los enteros y de los racionales sirviéndose de operaciones más que definiéndolos como pares ordenados de números reales. Así, a la combinación del signo del opuesto - y del número positivo b le da el nombre de número negativo, porque -b es una operación que, aplicada a un número no inferior a b, produce un número. Para Peano un número racional a/b es aquel que representa la operación compuesta multiplicar por a y dividir por b. En cuanto a los números reales, los define como la más pequeña cota de una clase de números racionales, cada uno de ellos inferior a un número dado, excluyendo $+\infty$ y $-\infty$.