Otras aproximaciones al sistema numérico real

La esencia de las aproximaciones a los fundamentos lógicos al sistema numérico real hasta ahora descritos es obtener los enteros y sus propiedades de alguna manera y luego obtener los números negativos, las fracciones, y finalmente los números irracionales. La base lógica de esta aproximación son algunas series de afirmaciones acerca de los números naturales solamente, por ejemplo, los axiomas de Peano. Todos los otros números fueron construidos. Hilbert aplicó el método axiomático al sistema numérico real.

Hilbert introduce el término indefinido, número, denotado por a, b, c,..., y da los axiomas:

1. Axiomas de conexión
   Axioma 57   Con los números a y b se obtiene por adición un número definido c; en símbolos  a+b=c o c=a+b

   Si a y b son dos números dados, existe uno y solo un número x y también uno y solo un número y tal que a+x=b y y+a=b

   Hay un número definido, denotado por 0, tal que para cada a a+0=a y 0+a=a

   Con los números a y b se obtiene por multiplicación un número definido c; en símbolos ab=c o c=ab

   Si a y b son dos números arbitrarios dados y a no es cero, existe uno y solo un número x y otro y tales que ax=b y ya=b

   Existe un número definido, denotado por 1, tal que para todo a tenemos a1=a y 1a=a

2. Axiomas de cálculo
   Axioma 58   a+(b+c)=(a+b)+c

   a+b=b+a

   a(bc)=(ab)c

   a(b+c)=ab+ac

   (a+b)c=ac+bc

   ab=ba

3. Axiomas de orden
   Axioma 59   Si a y b son dos números diferentes arbitrarios, entonces uno de ellos es siempre mayor que el otro; el último se dice que es el menor; en símbolos a>b y b<a

   Si a>b y b>c entonces b>c

   Si a>b siempre es cierto que a+c>b+c y c+a>c+b

   Si a>b y c>0 entonces ac>bc y ca>cb

4. Axiomas de continuidad
   Axioma 60   Axioma de Arquímedes: si a,b>0 son dos números arbitrarios siempre existe n N tal que na>b

   Axioma de completitud: no es posible adjuntar al sistema de números cualquier colección de cosas tal que la colección obtenida satisfaga todos los axiomas anteriores; es decir, los números forman un sistema de objetos que no puede ampliarse y seguir verificando los axiomas anteriores.

Hilbert señala que estos axiomas no son independientes, se pueden deducir unos de otros. Afirma que las objeciones contra la existencia de conjuntos infinitos no son válidas para la anterior concepción de los números reales. También dice que es necesario probar la consistencia de este conjunto de axiomas, sólo cuando esto se haga los objetos definidos (los números reales), existirán en el sentido matemático; no se daba cuenta de la dificultad de probar la consistencia de los axiomas para los números reales. Hilbert creía que al ser las fórmulas axiomáticas finitas en número la demostración de la consistencia puede alcanzarse sirviéndose de métodos de argumentos finitarios. Consiguió establecer la consistencia de sistemas formales sencillos y creyó poder realizar su objetivo, es decir, probar la consistencia de la aritmética. Gödel (1906-1978) en una memoria publicada en 1931 enunció su teorema de incompletitud y dedujo que la consistencia de la aritmética no puede ser establecida por todo razonamiento metamatemático que pueda estar representado en el interior del formalismo de la aritmética, es decir, el método axiomático posee ciertas limitaciones inherentes cuando se aplica a sistemas relativamente simples como la aritmética de los números transfinitos.