Estudio de las asíntotas de una función racional

Se facilita un fichero LyX, en el que se usa el paquete pythontex y la librería sympy de ptyhon, que permite encontrar todas las asíntotas de cualquier función racional.

Para encontrar la solución sólo hay que escribir el numerador y el denominador de la función y con el código creado se encuentra el dominio de la función y se determinan todas las posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

La salida final que se obtiene al compilar el fichero fuente discrimina si en un número que no pertenece al dominio hay una asíntota vertical o no, si tiene asíntotas horizontales y en su caso (no tiene) se procede a calcular la asíntota oblicua. En el caso de tener asíntotas horizontales, como se trata de una función racional, no se realiza el cálculo de la asíntota oblicua.

En el caso de tener asíntota oblicua, se calcula de dos formas, usando límites y mediante la división del numerador y el denominador de la correspondiente fracción algebraica. Para ello se hace uso del paquete polynom de LaTeX.

Los únicos valores a introducir en el problema son el numerador y el denominador de la función racional:

#Está preparado sólo para funciones racionales.
#Defino la función como un cociente de polinomios
#se pueden poner factorizados o expandidos
num=(x+1)*(x+2)*x
den=x**2-x

Para esos datos de entrada se obtiene de enunciado:

Ejercicio

Halla las ramas infinitas y las asíntotas de la función: $f(x)={\displaystyle \frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}}$

y como resultado de compilar el fichero LyX que se puede descargar al final del artículo:

Solución

En el ejercicio, hay que entender (salvo en las asíntotas oblicuas que sí se usa bien) que cuando se escribe $\infty$ es $+\infty$

Dominio

$x^{2}-x=0\Rightarrow\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=\left\{ 0,1\right\}$ $\Rightarrow Dom(f)=\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(1,\infty\right)$.

Verticales

$\left\{ \begin{array}{cc} {\displaystyle \lim_{x\to0^{-}}\left(\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}\right)}={\displaystyle \lim_{x\to0^{-}}\left(\frac{x^{2}+3x+2}{x-1}\right)}=$& -2\\ {\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}\right)}={\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{x^{2}+3x+2}{x-1}\right)}= & -2 \end{array}\right.\Rightarrow En $x=0$ no hay asíntota vertical

$\left\{ \begin{array}{cc} {\displaystyle \lim_{x\to1^{-}}\left(\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}\right)}=$& -\infty\\ {\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}\left(\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}\right)}= & \infty \end{array}\right.\Rightarrow La recta $x=1$ es una asíntota vertical

Horizontales

$\begin{cases} {\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}\right)}=$& \infty\\ {\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}\right)}= & -\infty \end{cases}\Rightarrow\, No tiene asíntotas horizontales

Oblicuas

$\left\{ \begin{array}{cc} m=$& {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}}\\ n= & {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-m\cdot x)} \end{array}\right.\Rightarrow

$\left\{ \begin{array}{c} m={\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{3}-x^{2}}\right)}=1\\ n={\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(-x+\frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x}\right)}={\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2\cdot\left(2x+1\right)}{x-1}\right)}=4 \end{array}\right.\Rightarrow$

La recta $y=x+4$ es una asíntota oblicua.

También la podíamos haber obtenido mediante la división:

la recta $y=$ al cociente de la división anterior es la AO.

Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación.

• Fichero en formato LyX con el código python necesario para hacerlo.
• Fichero en formato pdf que se obtiene como resultado de compilar el fichero anterior.