Cálculo de derivadas paso a paso

Voy a usar un par de módulos de Sympy Gamma para poder crear ejercicios, en formato pdf, que obtengan la derivada paso a paso de una lista de funciones. Mi trabajo con ellos solo ha consistido en traducir los textos al castellano. Además de los módulos anteriores hago uso de sympy y de un poco de código python propio que permite derivar una lista de funciones pasadas como argumento.

Para poder compilar el fichero LyX/pythontex es necesario que en nuestro ordenador:

1. Descarguemos los scripts:

   1. diffsteps.py
   2. stepprinter.py

   Además hay que ajustar la ruta del fichero LyX, que se puede descargar al final del artículo, a aquella en que hayamos puesto los scripts anteriores.

   # Hay que ajustar esta ruta al lugar en donde tengamos los dos scripts de python
   # que hemos descargado de la web: diffsteps.py y stepprinter.py
   sys.path.append(
       r'/ruta_scripts_anteriores')
   

2. Tengamos instalado el módulo pypandoc. Si trabajamos con Ubuntu se puede conseguir instalando el paquete python3-pypandoc. Con este módulo pasamos a LaTeX el resultado obtenido en html de los scripts anteriores.

Para crear diferentes ejercicios de derivadas solo hay que definir una lista de funciones de entrada:

# No está preparado para logaritmos no neperianos
# si escribimos log es un logaritmo neperiano
# Funciones que vamos a derivar (tupla)
funciones = (sin(x**2), exp(x) / (x + 1)**2, log(cos(x))
             * sqrt(x), log(sqrt((1 + x) / (1 - x))))

Podemos modificar esa lista de funciones a nuestro gusto. Con los datos de entrada anteriores se obtiene de enunciado

Ejercicio

Calcula la derivada de:

1. $f_{1}(x)=\sin{\left(x^{2}\right)}$
2. $f_{2}(x)=\frac{e^{x}}{\left(x+1\right)^{2}}$
3. $f_{3}(x)=\sqrt{x}\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}$
4. $f_{4}(x)=\ln{\left(\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\right)}$

y la correspondiente

Solución

• $f_{1}(x)=\sin{\left(x^{2}\right)}$

  1. Sea $u=x^{2}$.

  2. La derivada del seno es el coseno:

     $$\frac{d}{du}\sin{\left(u\right)}=\cos{\left(u\right)}$$

  3. Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por $\frac{d}{dx}x^{2}$:

     1. Aplicar la regla de la potencia: $x^{2}$ tiene de derivada $2x$

     El resultado de la regla de la cadena es:

     $$2x\cos{\left(x^{2}\right)}$$

  La derivada es:

  $$2x\cos{\left(x^{2}\right)}$$

• $f_{2}(x)=\frac{e^{x}}{\left(x+1\right)^{2}}$

  1. Aplicar la regla del cociente, que es:

     $$\frac{d}{dx}\frac{f{\left(x\right)}}{g{\left(x\right)}}=\frac{-f{\left(x\right)}\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}+g{\left(x\right)}\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}}{g^{2}{\left(x\right)}}$$

     $f{\left(x\right)}=e^{x}$ y $g{\left(x\right)}=\left(x+1\right)^{2}$.

     Calculemos $\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}$:

     1. La derivada de $e^{x}$ es ella misma.

     Calculemos $\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}$:

     1. Sea $u=x+1$.

     2. Aplicar la regla de la potencia: $u^{2}$ tiene de derivada $2u$

     3. Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por $\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$:

        1. Derivando $x+1$ termino a termino:

           1. La derivada de una constante $1$ es cero.
           2. Aplicar la regla de la potencia: $x$ tiene de derivada $1$

           El resultado es: $1$

        El resultado de la regla de la cadena es:

        $$2x+2$$

     Ahora aplíquese a la regla del cociente:

     $\frac{\left(x+1\right)^{2}e^{x}-\left(2x+2\right)e^{x}}{\left(x+1\right)^{4}}$

  2. Ahora simplifica:

     $$\frac{\left(-2x+\left(x+1\right)^{2}-2\right)e^{x}}{\left(x+1\right)^{4}}$$

  La derivada es:

  $$\frac{\left(-2x+\left(x+1\right)^{2}-2\right)e^{x}}{\left(x+1\right)^{4}}$$

• $f_{3}(x)=\sqrt{x}\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}$

  1. Aplicar la regla del producto:

     $$\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}g{\left(x\right)}=f{\left(x\right)}\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}+g{\left(x\right)}\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}$$

     $f{\left(x\right)}=\sqrt{x}$; para hallar $\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}$:

     1. Aplicar la regla de la potencia: $\sqrt{x}$ tiene de derivada $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

     $g{\left(x\right)}=\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}$; para hallar $\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}$:

     1. Sea $u=\cos{\left(x\right)}$.

     2. La derivada de $\ln{\left(u\right)}$ es $\frac{1}{u}$.

     3. Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por $\frac{d}{dx}\cos{\left(x\right)}$:

        1. La derivada del coseno es el seno negativo:

           $$\frac{d}{dx}\cos{\left(x\right)}=-\sin{\left(x\right)}$$

        El resultado de la regla de la cadena es:

        $$-\frac{\sin{\left(x\right)}}{\cos{\left(x\right)}}$$

     El resultado es: $-\frac{\sqrt{x}\sin{\left(x\right)}}{\cos{\left(x\right)}}+\frac{\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}}{2\sqrt{x}}$

  2. Ahora simplifica:

     $$\frac{-x\tan{\left(x\right)}+\frac{\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}}{2}}{\sqrt{x}}$$

  La derivada es:

  $$\frac{-x\tan{\left(x\right)}+\frac{\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}}{2}}{\sqrt{x}}$$

• $f_{4}(x)=\ln{\left(\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\right)}$

  1. Sea $u=\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}$.

  2. La derivada de $\ln{\left(u\right)}$ es $\frac{1}{u}$.

  3. Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por $\frac{d}{dx}\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}$:

     1. Sea $u=\frac{x+1}{1-x}$.

     2. Aplicar la regla de la potencia: $\sqrt{u}$ tiene de derivada $\frac{1}{2\sqrt{u}}$

     3. Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por $\frac{d}{dx}\frac{x+1}{1-x}$:

        1. Aplicar la regla del cociente, que es:

           $$\frac{d}{dx}\frac{f{\left(x\right)}}{g{\left(x\right)}}=\frac{-f{\left(x\right)}\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}+g{\left(x\right)}\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}}{g^{2}{\left(x\right)}}$$

           $f{\left(x\right)}=x+1$ y $g{\left(x\right)}=1-x$.

           Calculemos $\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}$:

           1. Derivando $x+1$ termino a termino:

              1. La derivada de una constante $1$ es cero.
              2. Aplicar la regla de la potencia: $x$ tiene de derivada $1$

              El resultado es: $1$

           Calculemos $\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}$:

           1. Derivando $1-x$ termino a termino:

              1. La derivada de una constante $1$ es cero.

              2. La derivada de una constante por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.

                 1. Aplicar la regla de la potencia: $x$ tiene de derivada $1$

                 Entonces, el resultado es: $-1$

              El resultado es: $-1$

           Ahora aplíquese a la regla del cociente:

           $\frac{2}{\left(1-x\right)^{2}}$

        El resultado de la regla de la cadena es:

        $$\frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\left(1-x\right)^{2}}$$

     El resultado de la regla de la cadena es:

     $$\frac{\left(1-x\right)\frac{1}{x+1}}{\left(1-x\right)^{2}}$$

  4. Ahora simplifica:

     $$-\frac{1}{x^{2}-1}$$

  La derivada es:

  $$-\frac{1}{x^{2}-1}$$

Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.

• Fichero en formato LyX con el código python necesario para hacerlo.
• Fichero en formato pdf que se obtiene como resultado de compilar el fichero anterior.