Errores, redondeos y propiedades de los logaritmos

Paco Villegas |

Con este artículo se muestra una serie de ejercicios tipo en que se ve la forma de poder trabajar las propiedades más básicas de los logaritmos así como el cálculo de logaritmos decimales con la calculadora y ver la forma de usar ese valor obtenido para calcular errores absolutos, relativos y números en notación científica. La parte de programación usada de python es mínima y se hace uso de la librería sympy para realizar los cálculos.

Los valores que permiten obtener diferentes tipos de problemas se consiguen a partir de definir \(n\), \(r1\) y \(r2\) (el número al que calcular el logaritmo decimal y los redondeos de esa valor). Esos tres valores podemos optar por obtenerlos de forma aleatoria (es la forma por defecto) o definirlos de forma manual.

# Número que se les pide con la calculadora
# Aleatorio
# Número primo entre el primero y el 10
np=random.randint(1,10)
n=prime(np)
# Se puede poner de forma manual
# n=13

# Redondeos solicitados
# Calculadora
r=10
decimales=('décimas', 'centésimas', 'milésimas', 'diezmilésimas')
# Se obtienen de forma aleatoria
r1=random.randint(1,len(decimales)-1)
r2=random.randint(r1+1,len(decimales))
# Se pueden poner de forma manual de 1 a 4, con r2 mayor que r1, por ejemplo
# milésimas
# r2=3
# décimas
# r1=1

A partir de unos valores obtenidos de forma aleatoria, se obtiene un ejercicio como el que sigue:

Ejercicio

  1. Calcula de forma razonada:

    1. \(\log_{7}1=\)
    2. \(\log_{7}7=\)
    3. \(\log_{7}\dfrac{1}{7^{4}}=\)
    4. \(\log_{x}16384=7\)

  2. Calcula con tu calculadora \(\log(7)\). Redondea a las diezmilésimas  el resultado obtenido.

  3. Redondea a las centésimas  el valor obtenido en el apartado anterior.

  4. Determina el error absoluto y relativo que se comete al aproximar el valor obtenido redondeado a las diezmilésimas por el redondeo del apartado anterior (redondeo a las centésimas). Expresa ambos resultados en notación científica.

  5. Con el redondeo a las centésimas, halla usando las propiedades de los logaritmos:

    1. \(\log(700)\)
    2. \(\log(0.0007)\)
    3. \(\log\sqrt[7]{49}\)

Solución

  1. Calcula de forma razonada

    1. \(7^{0}=1\,\Rightarrow\,\log_{7}1=0\)
    2. \(7^{1}=7\,\Rightarrow\,\log_{7}7=1\)
    3. \(\dfrac{1}{7^{4}}=7^{-4}\,\Rightarrow\,\log_{7}\dfrac{1}{7^{4}}=-4\)
    4. \(\log_{x}16384=7\Rightarrow2^{14}=x^{7}\Rightarrow x=2^{2}=4\)

  2. Obtenemos que \(\log(7)\approx0.84509804\). Redondeado a las diezmilésimas  \(\log(7)\approx0.8451\)

  3. Redondeo a las centésimas  \(\log(7)\approx0.85\)

  4. Determina el error absoluto y relativo que se comete al aproximar el primer valor obtenido redondeado a las diezmilésimas por el redondeo del apartado anterior.

    \(e_{a}=0.8451-0.85=-0.0045\) que en notación científica es \(e_{a}=-4.5\cdot10^{-3}\)

    \(e_{r}=\dfrac{-0.0045}{0.8451}=-0.005326\) que en notación científica es \(e_{r}=-5.326\cdot10^{-3}\)

    1. Aplicamos que \(\log{\left(xy\right)}=\)\(\log{\left(x\right)}+\log{\left(y\right)}\)

      \(\log(700)=\log(100\cdot7)=\log(100)+\log(7)\approx2+0.85=2.9\)

    2. Aplicamos que \(\log{\left(\frac{x}{y}\right)}=\)\(\log{\left(x\right)}-\log{\left(y\right)}\)

      \(\log(0.0007)=\log\left(\dfrac{7}{10000}\right)=\log(7)-\log(10000)\approx0.85-4\\=-3.1\)

    3. Aplicamos que \(\log{\left(x^{m}\right)}=\)\(m\log{\left(x\right)}\)

      \(\log\left(\sqrt[7]{49}\right)=\log\left(\sqrt[7]{7^{2}}\right)=\log\left(7^{\frac{2}{7}}\right)=\frac{2}{7}\cdot\log\left(7\right)\approx\frac{2}{7}\cdot0,85\\ \approx0,24\)

Fichero fuente en formato LyX y el pdf final de una posible compilación.