Un ejercicio usual en selectividad de 2º de bachillerato de ciencias consiste en analizar si cuatro puntos del espacio son coplanarios. En este artículo se realiza un problema parametrizado de ese tipo. Para resolverlo, como en artículos anteriores sobre geometría en \(\mathbb{R}^{3}\), se hace uso del módulo Geometry de sympy. El fichero LyX/pythontex permite que se pongan los datos de forma manual, a partir de los tres puntos que determinan el plano y el punto del que obtener \(m\) para que sea coplanario, o bien que él solo genere los valores de forma aleatoria.
Los 4 puntos que determinan el enunciado del problema se introducen <<a mano>> o se puede optar que se obtengan de forma aleatoria:
# Podemos trabajar con dos opciones: # m --> Datos manuales. # a --> Datos aleatorios a partir de puntos (con coordenadas enteras) del espacio. # Si no ponemos que opción es "m" siempre se hace con datos aleatorios. opcion = 'a'
El código usado para ello es:
if opcion == 'm':
# En este caso tenemos que garantizarnos que al introducir los cuatro puntos son coplanarios.
# puntos que definen el plano
A = Point3D(0,1,1)
B = Point3D(2,1,3)
C = Point3D(-1,2,0)
D = Point3D(2,1,m)
else:
# Datos aleatorios, me garantizo que los puntos A, B y C no estén alineados
# Valores mínimos y máximos para las coordenadas aleatorias enteras de los puntos.
vm = -4
vM = 5
...
De él solo debemos cambiar los 4 puntos iniciales (\(A\), \(B\), \(C\) y \(D\)) si se opta por ponerlos a mano o los valores mínimo y máximo entre los que obtener los puntos de inicio del problema. En ese caso, las coordenadas del punto \(D\) se obtienen con:
# Así sé que D es coplanario y sencilla de calcular la m # se puede complicar como queramos con # Daux = a * u + b * v + A Daux = u-v+A D = Point3D(Daux.x,Daux.y,m)
A partir de unos valores de entrada obtenidos de forma aleatoria, un problema que se puede obtener es de la forma:
Ejercicio
Sean los puntos \(A\left(1,\ 3,\ 3\right)\), \(B\left(4,\ 4,\ -2\right)\), \(C\left(1,\ 0,\ 1\right)\) y \(D\left(4,\ 7,\ m\right)\).
- Calcular \(m\) para que \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) estén en un mismo plano.
- Determinar la ecuación del plano respecto del cual los puntos \(A\) y \(B\) son simétricos.
- Calcular el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\).
Solución
Obtengamos los vectores directores del plano que pasa por \(A,\,B\) y \(C\) . los vectores directores es mejor simplificarlos dividiéndolos por un factor común, lo mismo se debe hacer con el vector normal que se obtiene después
\(\overrightarrow{AB}=\left(4,\ 4,\ -2\right)-\left(1,\ 3,\ 3\right)=\left(3,\ 1,\ -5\right)\Rightarrow\vec{u}\equiv\left(3,\ 1,\ -5\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(1,\ 0,\ 1\right)-\left(1,\ 3,\ 3\right)=\left(0,\ -3,\ -2\right)\Rightarrow\vec{v}\equiv\left(0,\ -3,\ -2\right)\)
Obtengamos los coordenadas del vector que pasa por \(A\) y \(D\)
\(\vec{w}=\overrightarrow{AD}=\left(4,\ 7,\ m\right)-\left(1,\ 3,\ 3\right)=\left(3,\ 4,\ m-3\right)\)
Si los 4 puntos son coplanarios esos tres vectores tienen que ser linealmente dependientes y en consecuencia el determinante que se obtiene con los tres debe ser igual a cero
\(\left|\begin{matrix}3 & 1 & -5\\ 0 & -3 & -2\\ 3 & 4 & m-3 \end{matrix}\right|\)\(=-9m=0\,\Rightarrow\) \(m=0\)
- Nota
También podemos hacerlo obteniendo la ecuación la ecuación general a partir de:
\(\left|\begin{matrix}x-1 & y-3 & z-3\\ 3 & 1 & -5\\ 0 & -3 & -2 \end{matrix}\right|\)\(=-17x+6y-9z+26=0\)
O bien obtener un vector normal haciendo el producto vectorial de los dos vectores directores del plano y luego obtener la \(D\) imponiendo que la ecuación obtenida pase por uno de los puntos.
\begin{align*} \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left(\left|\begin{array}{cc} 1 & -5\\ -3 & -2 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{cc} 3 & -5\\ 0 & -2 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} 3 & 1\\ 0 & -3 \end{array}\right|\right)=\\ \left(-17,\ 6,\ -9\right)\Rightarrow \end{align*}\begin{equation*} \vec{n}_{\pi}\equiv\left(-17,\ 6,\ -9\right) \end{equation*}\begin{align*} -17\cdot x+6\cdot y+-9\cdot z+D=0\Rightarrow \\ \left(-17\right)\cdot\left(1\right)+\left(6\right)\cdot\left(3\right)+\left(-9\right)\cdot\left(3\right)+D=0 \end{align*}\begin{equation*} \left(-17\right)+\left(18\right)+\left(-27\right)+D=0\Rightarrow-26+D=0\Rightarrow D=26 \end{equation*}
- También podemos obtener de forma directa la ecuación a partir de que \(D=\vec{n}_{\pi}\cdot\overrightarrow{OA}=\left(-17,\ 6,\ -9\right)\cdot\left(1,\ 3,\ 3\right)=26\)
En cualquier caso, se obtendría que la ecuación del plano ya simplificada es:
\begin{equation*} \pi\equiv-17x+6y-9z+26=0 \end{equation*}Ahora imponemos que el punto \(D\left(4,\ 7,\ m\right)\) está en el plano \(\pi\), es decir
\begin{equation*} -17\cdot4+6\cdot7+-9\cdot m+\left(26\right)=0\Rightarrow-9m=0\,\Rightarrow \end{equation*}\begin{equation*} :math:`m=0` \end{equation*}Ese plano (\(\tau\)) tiene
Como vector normal el vector \(\overrightarrow{AB}\Rightarrow\) \(\vec{n_{\tau}}=\vec{u}\equiv\left(3,\ 1,\ -5\right)\)
Pasa por el punto medio del segmento \(AB\), las coordenadas de ese punto se pueden obtener con:
\(P=\dfrac{A+B}{2}=\left(\frac{5}{2},\ \frac{7}{2},\ \frac{1}{2}\right)\)
Por tanto:
\begin{align*} 3\cdot x+1\cdot y+-5\cdot z+D=0\Rightarrow \\ \left(3\right)\cdot\left(\frac{5}{2}\right)+\left(1\right)\cdot\left(\frac{7}{2}\right)+\left(-5\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+D=0 \end{align*}\begin{equation*} \Rightarrow\frac{17}{2}+D=0\Rightarrow D=-\frac{17}{2} \end{equation*}la ecuación del plano ya simplificada es:
\begin{equation*} \tau\equiv3x+y-5z-\frac{17}{2}=0 \end{equation*}El área pedida se puede obtener con \(\acute{A}rea\,\,=\,\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|}{2}\)
\begin{align*} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(\left|\begin{array}{cc} 1 & -5\\ -3 & -2 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{cc} 3 & -5\\ 0 & -2 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} 3 & 1\\ 0 & -3 \end{array}\right|\right)=\\=\left(-17,\ 6,\ -9\right)\Rightarrow \end{align*}\begin{align*} \acute{A}rea\,\,=\,\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|}{2}=\dfrac{\left|\left(-17,\ 6,\ -9\right)\right|}{2}=\\=\dfrac{\sqrt{\left(-17\right)^{2}+\left(6\right)^{2}+\left(-9\right)^{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{406}}{2}=\frac{\sqrt{406}}{2} \end{align*}
Enlaces al fichero fuente y al pdf final de una posible compilación.