Primer ejercicio de matrices para la preparación de Matemáticas II para el acceso a la Universidad

Paco Villegas |

El primer ejercicio con matrices propuesto en Andalucía en el modelo de prueba de selectividad para este curso consiste en hallar dos valores de una matriz 2x2 a partir de una condición. El fichero LyX/pythontex que se puede descargar al final del artículo permite obtener diferentes ejercicios de ese tipo cuyos datos se obtienen de forma aleatoria.

El código python de la plantilla permite generar diferentes ejercicios del tipo:

Halla los valores de aa y bb para que se verifique que A2=k⋅IA^{2}=k\cdot I donde la matriz AA es de la forma (acbd)\left(\begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array}\right) y los números que se van cambiando son c, dc,\,d y kk

Lo único que, si queremos, tendremos que adecuar en el fichero es:

# La matriz A es de la forma Matrix([[a, cr], [b, dr]])
# La solución de la matriz A será de la forma Matrix([[ar, cr], [br, dr]]) y dr=-ar
# Valor entre los que obtener los valores de cr y br de la matriz
# A así como los números de la matriz B (-rg, +rg)
rg = 4

# Valor máximo de ar
vm = 5

Un ejemplo de ejercicio generado a partir de los valores anteriores se muestra a continuación:

Ejercicio

Sean las matrices A=(a−2b−1)A=\begin{pmatrix}a & -2\\ b & -1 \end{pmatrix} y B=(0−3−1120)B=\begin{pmatrix}0 & -3\\ -1 & 1\\ 2 & 0 \end{pmatrix}

  1. Determina aa y bb para que A2=7⋅IA^{2}=7\cdot I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
  2. Para a=1a=1 y b=−3b=-3 calcula, si es posible, la matriz XX que cumple A2X=BtA^{2}X=B^{t}.

Solución

  1. Calculemos A2=(a−2b−1)⋅(a−2b−1)A^{2}=\begin{pmatrix}a & -2\\ b & -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a & -2\\ b & -1 \end{pmatrix}

    =(a2+(−2)ba(−2)+(−2)(−1)ba+(−1)bb(−2)+(−1)2)\mathtt{\text{=}}\left(\begin{matrix}a^{2}\mathtt{\text{+}}\left(-2\right)b & a\left(-2\right)\mathtt{\text{+}}\left(-2\right)\left(-1\right)\\ ba\mathtt{\text{+}}\left(-1\right)b & b\left(-2\right)\mathtt{\text{+}}\left(-1\right)^{2} \end{matrix}\right)

    =(a2−2b2−2aab−b1−2b)=\begin{pmatrix}a^{2}-2b & 2-2a\\ ab-b & 1-2b \end{pmatrix}

    Si A2=7⋅I⇒A2−7⋅I=O2x2⇒(a2−2b2−2aab−b1−2b)−7⋅(1001)=A^{2}=7\cdot I\Rightarrow A^{2}-7\cdot I=O_{2x2}\Rightarrow\begin{pmatrix}a^{2}-2b & 2-2a\\ ab-b & 1-2b \end{pmatrix}-7\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=

    =(a2−2b2−2aab−b1−2b)−(7007)=(a2−2b−72−2aab−b−2b−6)=(0000)⇔=\begin{pmatrix}a^{2}-2b & 2-2a\\ ab-b & 1-2b \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^{2}-2b-7 & 2-2a\\ ab-b & -2b-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\Leftrightarrow{a2−2b−7=02−2a=0ab−b=0−2b−6=0⇔{a=1b=−3\begin{cases} a^{2}-2b-7 & =0\\ 2-2a & =0\\ ab-b & =0\\ -2b-6 & =0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a & =1\\ b & =-3 \end{cases}

  2. De lo obtenido anteriormente sabemos que si a=1a=1 y b=−3b=-3 entonces A2=7⋅IA^{2}=7\cdot I. Por tanto A2X=Bt⇔7⋅I⋅X=Bt⇔7⋅X=Bt⇔X=17Bt=17⋅(0−12−310)=A^{2}X=B^{t}\Leftrightarrow7\cdot I\cdot X=B^{t}\Leftrightarrow7\cdot X=B^{t}\Leftrightarrow X=\dfrac{1}{7}B^{t}=\dfrac{1}{7}\cdot\begin{pmatrix}0 & -1 & 2\\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}=(0−1727−37170)\left(\begin{matrix}0 & -\frac{1}{7} & \frac{2}{7}\\ -\frac{3}{7} & \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}\right)

Enlaces al fichero fuente y al pdf final de una posible compilación.