Números irracionales. Tipos de números irracionales

Aunque no se hizo nada durante el siglo XVIII para clarificar el concepto de números irracionales, se hicieron algunos progresos en este tema. En 1737 Euler demostró, sustancialmente, que e y e² son irracionales, y Lambert que $\pi$ es irracional. El trabajo sobre la irracionalidad de $\pi$ fue motivado por el deseo de resolver el problema de la cuadratura del círculo. La conjetura de Legendre de que $\pi$ no podía ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, llevó a la distinción entre tipos de irracionales. A cualquier raíz, real o compleja, de cualquier ecuación algebraica (polinómica) con coeficientes racionales se le llamó un número algebraico. Así las raíces de

$$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}=0$$

donde los $a_{i}$ son números racionales, se llaman  números algebraicos. En consecuencia, todo número racional y algunos irracionales son números algebraicos, para cualquier número racional c es una raíz de x-c=0, y $\sqrt{2}$ es una raíz de x²-2=0. Aquellos números que no son algebraicos se llamaron trascendentes porque, como Euler propuso,transcienden el poder de los métodos algebraicos. Esta distinción entre números algebraicos y trascendentes fue reconocida por Euler ya en 1744. Supuso que el logaritmo de base racional de un número racional debe ser o bien racional o bien trascendente. En cualquier caso no se conoció ningún número trascendente en el siglo XVIII y el problema de demostrar que había números trascendentes continuó abierto.