Números complejos

Los números complejos fueron un castigo para los matemáticos del siglo XVIII. Estos números fueron prácticamente ignorados desde su introducción por Cardan hasta cerca del 1700. Entonces los números complejos se usaban para integrar por el método de las fracciones parciales, que fue seguido de una larga controversia sobre los números complejos y los logaritmos de números negativos y complejos. A pesar de su solución correcta del problema de los logaritmos de números complejos, ni Euler ni otros matemáticos fueron claros acerca de estos números.

Euler intentó comprender qué eran realmente los números complejos y en su Vollständige Auleitung zur Algebra (Introducción Completa al Algebra), que apareció primero en Rusia en 1768-69 y en Alemania en 1770, y es el mejor texto de álgebra del siglo XVIII dice:

Puesto que todos los números concebibles son mayores que cero, menores que cero, o iguales a cero, está claro que las raíces cuadradas de números negativos no pueden ser incluidas entre los números posibles (reales). En consecuencia debemos decir que son números imposibles. Y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son imposibles, y ordinariamente se les llama imaginarios o ideales, porque existen sólo en la imaginación.

El símbolo i para designar la $\sqrt{-1}$ es una notación introducida por primera vez por Euler en 1777. En sus primeros trabajos, utilizaba el símbolo i para designar un número infinito, un poco a la manera de Wallis con su símbolo $\infty$.

Euler cometió errores con los números complejos. En su Algebra escribe  $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-4}=\sqrt{4}=2$ porque $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$. También da $i^{i}=0,2078795763$ pero faltan otros valores de esta cantidad. Aunque llama a los números complejos números imposibles, dice que tienen uso. El uso que tiene en mente aparece cuando abordamos problemas sobre los cuales no sabemos si hay o no hay respuesta. Así si queremos dividir 12 en dos partes cuyo producto sea 40, encontraríamos que dichas partes son $6+\sqrt{-4}$ y $6-\sqrt{-4}$. Con eso, dice, reconocemos que el problema no se puede resolver.

Se dieron algunos pasos positivos tras la conclusión correcta de Euler sobre los logaritmos de números complejos, pero su influencia fue limitada en este siglo. Hubo  intentos de representar geométricamente los números complejos en el XVIII pero no fueron muy útiles. Tampoco hicieron las representaciones geométricas de esta época que los números complejos fueran más aceptables.

A principios del siglo muchos matemáticos creían que raíces diferentes de números complejos introducirían diferentes tipos u ordenes de números complejos y que podía haber raíces ideales cuya naturaleza no podían especificar pero que podrían ser calculadas de alguna manera. D'Alembert en su trabajo Reflexions sur la cause générale des vents (1747), afirmó que toda expresión construida desde los números complejos mediante operaciones algebraicas (en las que incluía elevar a una potencia arbitraria), es un número complejo de la forma $A+B\sqrt{-1}$. La única dificultad que tuvo para probar esta afirmación fue el caso $\left(a+bi\right)^{\left(g+hi\right)}$. Su demostración de este hecho tuvo que ser reformada por Euler, Lagrange, y otros. En la Encyclopedie D'Alembert mantuvo un discreto silencio sobre los números complejos.

A través del siglo XVIII los números complejos fueron usados bastante por matemáticos que adquirieron alguna confianza en ellos. Usados en estadios intermedios de argumentos matemáticos, los resultados demostraron ser correctos; este hecho produjo efecto. Aún aquí hubo dudas sobre la validez de los argumentos y a menudo incluso de los resultados.

En 1799 Gauss dio su primera demostración del teorema fundamental del álgebra, y puesto que ésta  dependía necesariamente del reconocimiento de los números complejos, Gauss consolido la posición de estos números. El siglo XIX se lanzó hacia delante con audacia con las funciones complejas. Pero incluso bastante después de que esta teoría se desarrollara y empleara en hidrodinámica, los profesores de la Universidad de Cambridge mantenían una invencible repulsión hacia la objetable $\sqrt{-1}$, .... adoptando artificios para evitar su uso donde quiera que fuera posible.

La actitud general hacia los números complejos incluso hasta 1831 puede verse en el libro de Morgan On the Study and Difficulties of Mathematics. Dice que este libro no contiene nada que no pueda encontrarse en los mejores trabajos en uso entonces en Oxford y Cambridge. Volviendo a los números complejos dice:

Hemos mostrado el símbolo $\sqrt{-a}$ como vacío de significado o más bien absurdo y contradictorio en sí mismo. No obstante, por medio de tales símbolos, se ha establecido una parte del álgebra que es de gran utilidad. Depende del hecho, que debe ser verificado por la experiencia, de que las reglas comunes del álgebra se pueden aplicar a estas expresiones (números complejos) sin llevar a resultados falsos. Una apelación a experiencias de esta naturaleza parece ser contraria a los principios expuestos al comienzo de este trabajo. No podemos negar que en realidad es así, pero debe recordarse que ésta es una parte pequeña y aislada de un tema inmenso, en el que se aplican estos principios en su más plena extensión a todas las demás ramas.

Los principios” a que se refiere son que las verdades matemáticas pueden derivarse de axiomas por razonamiento deductivo.

Luego compara las raíces negativas y complejas:

Hay pues, esta clara diferencia entre el resultado negativo y el imaginario. Cuando la respuesta a un problema es negativa, cambiando el signo de x en la ecuación que da ese resultado podemos bien descubrir un error en el método de formar la ecuación o bien demostrar que la pregunta del problema es demasiado limitada, y puede extenderse tanto como para admitir una respuesta satisfactoria. Cuando la respuesta al problema es imaginaria no es este el caso... No podemos defender el detener el progreso del estudio por entrar de lleno en todos los argumentos a favor y en contra de tales cuestiones, como el uso de cantidades negativas, etc, las cuales no podemos entender y que son inconcluyentes por ambos lados, pero debemos saber que la dificultad existe y señalar su naturaleza, entonces considerando un número suficiente de ejemplos, tratados separadamente, adquirir confianza en los resultados a los que nos llevan las reglas.

Por la época en que De Morgan escribió las líneas anteriores, los conceptos de números complejos y funciones complejas estaban en camino de clarificarse. Pero la difusión de los nuevos conocimientos fue lenta. Ciertamente a través del siglo XVIII y primera mitad del XIX el sentido de los números complejos se debatió con calor. Incluso libros de texto sobre trigonometría del siglo XX suplementan las presentaciones que emplean números complejos por demostraciones en las que no aparece $\sqrt{-1}$.