La teoría de números

La teoría de números en el siglo XVIII mantenía una serie de resultados inconexos. Los trabajos más importantes en el tema fueron el Auleitung zur Algebra (edición alemana 1770) de Euler y el Essai sur la théorie des nombres (1798) de Legendre.

En 1736 Euler demostró el teorema menor de Fermat, es decir,

Teorema 6   si p es un primo y a es primo relativo con p, $a^{p}-a$ es divisible por p.

Se dieron muchas demostraciones de este teorema en los siglos XVIII y XIX. La demostración de Euler, apareció en los Commentarii de San Petesburgo del año 1736, la demostración se hace por inducción sobre a:

Si a=1 el teorema se verifica trivialmente. Veamos que si el teorema se verifica para un valor entero positivo cualquiera de a, a=k, también se verifica para a=k+1; para ello utilizamos el teorema binomial escrito en la forma $\left(k+1\right)^{p}=k^{p}+mp+1$, siendo m un número entero. Restando k+1 a los dos miembros, obtenemos que $\left(k+1\right)^{p}-\left(k+1\right)=mp+\left(k^{p}-k\right)$, y como el último término del segundo miembro es divisible por p, por hipótesis, lo es todo el segundo miembro, luego el primer miembro también es divisible por p. Queda pues demostrado el teorema por inducción completa para todos los valores de a, siempre que a sea primo con p.

En 1760 Euler lo generalizó introduciendo la función $\Phi$ (función de Euler);$\Phi(n)$ es el número de enteros menores que n y primos respecto a n tales que si n es primo $\Phi(n)=n-1$ (la notación $\Phi(n)$ fue introducida por Gauss), y puede demostrarse que $\Phi(n)=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_{_{r}}}\right)$ donde $p_{1},\:p_{2},\cdots,\:p_{r}$ son los factores, primos distintos que figuran en m. Utilizando este resultado demostró Euler que

Teorema 7   $a^{\Phi(n)}-1$ es divisible por m si a y m son primos entre sí.

En cuanto a la suposición de Fermat $x^{n}+y^{n}=z^{n}$, Euler demostró que era correcto para n=3,4; el caso n=4 había sido probado por Frénicle de Bessy. Este trabajo de Euler fue completado por Lagrange, Legendre y Gauss. Legendre lo probó para n=5.

Fermat también había supuesto que la fórmula $2^{2^{n}}+1$ daba primos para un grupo de valores de n indeterminado. Esto es cierto para n=0,1,2,3 y 4. Sin embargo Euler demostró en 1732 que para n=5 este número no es primo, siendo uno de los factores 641. De hecho ahora se sabe que la fórmula no da primos para otros muchos valores de n, considerando que no se ha encontrado ningún valor mayor que cuatro para el que la fórmula de primo. En cualquier caso la fórmula es de interés porque reaparece en el trabajo de Gauss sobre la constructibilidad de polígonos regulares.

Un asunto con muchas subdivisiones es la descomposición de enteros de varios tipos en otras clases de enteros. Fermat había afirmado que

Teorema 8   cada entero positivo es la suma de como máximo cuatro cuadrados (se permite la repetición de un cuadrado como en 8=4+4 si se cuenta el número de veces que aparece).

Durante 40 años Euler estuvo intentando demostrar este teorema y dio resultados parciales. Usando alguno de los trabajos de Euler, Lagrange demostró el teorema. Ninguno de los dos obtuvo el número de representaciones.

Euler en 1754-5 probaba la afirmación de Fermat de que

Teorema 9   todo primo de la forma 4n+1 se puede descomponer únicamente como suma de dos cuadrados.

No obstante la demostración de Euler no seguía el método del descenso esbozado por Fermat para este teorema. Euler probó también que

Teorema 10   todo divisor de la suma de dos cuadrados primos relativos es la suma de dos cuadrados.

Edward Waring (1734-1798) enunció en su Meditationes Algebraicae (1770) el ahora conocido como teorema de Waring:

Teorema 11   todo entero es o bien un cubo o la suma de nueve cubos; además todo entero es o una cuarta potencia o la suma de como máximo 19 cuartas potencias.

También supuso que

Teorema 12   todo entero positivo puede expresarse como la suma de r k-ésimas potencias a lo sumo, con r una cierta función de k.

No demostró estos teoremas. De la misma manera que Euler derribó una de las conjeturas de Fermat por medio de un contraejemplo, el siglo XX ha venido a refutar una conjetura formulada por Euler: Euler creía que si n>2, entonces son necesarias al menos n potencias n-ésimas para producir, sumándolas, otra potencia n-ésima. Pero en 1966 se demostró que la suma de sólo 4 quintas potencias puede dar como resultado otra quinta potencia, como, por ejemplo, $27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}$.

En una carta a Euler del 7 de Junio de 1742 Christian Goldbach, enunció sin demostrarlo que

Conjetura 13   todo entero par es la suma de dos primos y todo entero impar es o un primo o la suma de tres primos.

La primera parte de la afirmación se conoce ahora como la hipótesis de Goldbach y aún está sin demostrar. La segunda afirmación se ha visto que se obtiene de la primera, por que si n es impar y se le resta cualquier primo p entonces n-p es par.

Entre algunos de los resultados más especializados sobre la descomposición de números está la demostración de Euler de que

Teorema 14   $x^{4}-y^{4}$ y $x^{4}+y^{4}$ no pueden ser cuadrados.

Euler y Lagrange demostraron muchas de las afirmaciones de Fermat de que ciertos primos pueden expresarse de formas particulares. Por ejemplo, Euler probó que

Teorema 15   un primo de la forma 3n+1 puede expresarse únicamente en la forma x²+3y².

Los números amigos y perfectos continuaron interesando a los matemáticos. Euler dio 62 pares de números amigos, incluidos los tres pares ya conocidos (dos de sus pares eran incorrectos). También probó (se publicó después de su muerte) el inverso del teorema de Euclides:

Teorema 16   todo número perfecto par es de la forma $2^{(p-1)}\left(2^{p}-1\right)$donde el segundo factor es primo.

Hasta hoy permanece abierto el problema de si existe o no algún número perfecto impar.

John Wilson (1741-93), enunció el teorema:

Teorema 17   Para todo primo p, la cantidad (p-1)!+1 es divisible por p; además si la cantidad es divisible por q, entonces q es primo.

Waring lo publicó en su Meditationes Algebraicae y Lagrange lo demostró en 1773.

El problema de hallar las soluciones de la ecuación x²-Ay²=1 interesó a Euler porque necesitaba sus soluciones para resolver ax²+bx+c=y² en los enteros. La existencia de soluciones a la ecuación de Pell se demostró en 1776 por Lagrange.

Fermat había afirmado que pudo determinar cuando la ecuación general x²-Ay²=B era resoluble en los enteros y que pudo resolverla en esos casos; la ecuación fue resuelta por Lagrange.

El problema de dar todas las soluciones enteras de la ecuación general $ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0$, donde los coeficientes son enteros también fue abordada. Euler dio clases de soluciones incompletas; posteriormente Lagrange dio la solución completa.

El descubrimiento más original del siglo XVIII en teoría de números es la ley de reciprocidad cuadrática. Utiliza la noción de residuos cuadráticos. En el lenguaje introducido por Euler en un documento de 1754-55 y adoptado por Gauss, si existe un x tal que x²-p es divisible por q entonces se dice que p es un residuo cuadrático de q; si no hay tal x se dice que p es en residuo no cuadrático de q. Legendre (1808) inventó el símbolo (p/q) que significa: Para cualquier número  p y cualquier primo q,

$(p/q)=\left\{ \begin{array}{c} 1\;si\;p\;es\;un\;residuo\;cuadr\acute{a}tico\;de\;q\\ -1\;si\;p\;no\;es\;residuo\;cuadr\acute{a}tico\;de\;q \end{array}\right.$

también se entendía que (p/q)=0 si q divide a p

La ley de los cuadrados recíprocos, en forma simbólica, dice que

Teorema 18   si p y q son primos impares distintos, entonces $(p/q)(q/p)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$.

Esto quiere decir que si el exponente de (-1) es par, p es un residuo cuadrático de q y q lo es de p o bien ninguno lo es del otro. Cuando el exponente es impar, lo que ocurre cuando p y q son de la forma 4k+3, un primo será un residuo cuadrático del otro, pero no el segundo del primero.

Ejemplo 19   Por ejemplo, x²$\equiv$13(mod 17) tiene la solución x=8 y x²$\equiv$17(mod13) tiene la solución x=11, y se puede demostrar que x²$\equiv$5(mod13) y x²$\equiv$13(mod5) no tiene solución. En cambio, x²$\equiv$19(mod11) no es soluble, mientras que x²$\equiv$11(mod19) tiene la solución x=7.

La historia de esta ley es detallada. En un documento de 1783 Euler dio 4 teoremas y un quinto resumido que enunciaba claramente la ley de los cuadrados recíprocos, aunque no los demostró. En 1785 Legendre proclamó la ley independientemente en el Opuscula, aunque cita otro documento de Euler. Su demostración era incompleta. Vuelve a enunciarlo en su Théorie des nombres y da una nueva demostración, aunque también incompleta porque asumía que hay un número infinito de primos en ciertas progresiones aritméticas. Además de demostrar que no existe ninguna función algebraica racional que proporcione siempre un número primo, Legendre observó que la fórmula n²+n+17 proporciona un número primo para 1<n<16 y la fórmula 2n²+29 lo hace cuando 1<n<28. (Euler había demostrado anteriormente que para 1<n<40, la fórmula n²-n+41 da un número primo).

El trabajo sobre teoría de números del siglo XVIII termina con el clásico Théorie de Legendre en 1798. Aunque contiene resultados interesantes en este tema y en otros (como el de las integrales elípticas), Legendre no hizo grandes innovaciones.