Introducción

Uno de los mas sorprendentes hechos en la historia de las matemáticas es que el fundamento lógico del sistema numérico real no se construyó hasta el siglo XIX. Hasta esa época incluso ni las más simples propiedades de los números racionales positivos y negativos y de los números irracionales se habían establecido, no se habían definido estos números. Tampoco el fundamento lógico de los números complejos tenía una existencia muy larga, y ese fundamento presuponía el sistema numérico real. En vista del amplio desarrollo del álgebra y el análisis, que utilizaban los números reales, el fallo al considerar la estructura precisa y las propiedades de los números reales mostró cómo progresaban ilógicamente las matemáticas. La comprensión intuitiva de estos números parecía adecuada y los matemáticos estaban contentos de operar sobre esta base.

La rigorización del análisis maduró la comprensión de que la falta de claridad en el sistema numérico debía ser remediada. Por ejemplo, la demostración de Bolzano de que una función continua que es negativa para x=a y positiva para x=b vale cero para algún valor de x entre a y b, tropezaba en un punto crítico porque carecía de una adecuada comprensión de la estructura del sistema numérico real. El estudio de límites también mostraba la necesidad de comprender el sistema numérico real, pues los números racionales pueden tener un límite irracional y viceversa. La incapacidad de Cauchy para demostrar la suficiencia de sus criterios sobre convergencia de una secuencia así mismo provenía de su falta de comprensión de la estructura del sistema numérico. El estudio de discontinuidades de funciones representables por series de Fourier reveló la misma deficiencia. Fue Weierstrass el primero en señalar que para establecer cuidadosamente las propiedades de las funciones continuas necesitaba la teoría de la aritmética continua.

Otro motivo para construir los fundamentos del sistema numérico fue el deseo de asegurar la verdad de las matemáticas. Una consecuencia de la creación de la geometría no euclídea fue que la geometría había perdido su prestigio como verdadera, pero aún parecía que la construcción matemática sobre la aritmética ordinaria debía ser una realidad incuestionable en algún sentido filosófico. En su carta a Olbers de 1817, Gauss había diferenciado aritmética de geometría en que sólo la forma era puramente a priori. En su carta a Bessel del 9 de Abril de 1830, repite la afirmación de que solamente las leyes de la aritmética son necesarias y verdaderas. En cualquier caso el fundamento del sistema numérico que podría disipar cualquier duda sobre la verdad de la aritmética y del álgebra y análisis construido sobre esa base era falso.

Antes de que los matemáticos apreciasen que el sistema numérico en sí mismo debía ser analizado, el problema que había parecido más pertinente fue el construir los fundamentos del álgebra, y en particular considerar el hecho de que se podían usar letras para representar números reales y complejos y aún operar con letras por medio de las propiedades aceptadas como verdaderas para los enteros positivos. Los últimos autores del siglo XIX comprendieron que debían demostrar con más profundidad en nombre del análisis y clarificar la estructura de todo el sistema numérico real. Como un subproducto también pudieron afianzar la estructura lógica del álgebra, dónde ya era claro intuitivamente que los diversos tipos de números poseían las mismas propiedades formales. Por eso si podían establecer estas propiedades sobre un fundamento sólido, podrían aplicarlas a las letras que ponían para cualquiera de estos números.