Números algebraicos y transcendentes

Con el trabajo del siglo XIX sobre irracionales algebraicos y trascendentes se dio un paso en la mejora del conocimiento de los números irracionales. La distinción entre irracionales algebraicos y trascendentes se hizo en el siglo XVIII. El interés en esta diferenciación se intensificó en el siglo XIX por el trabajo sobre resolución de ecuaciones, porque este trabajo reveló que no todos los irracionales algebraicos se podían obtener por operaciones algebraicas sobre números racionales. Por otra parte, el problema de determinar si e y $\pi$ eran algebraicos o trascendentes continúo atrayendo a los matemáticos.

Hacia 1844 la cuestión de si había algún irracional trascendente estaba abierta. En ese año Liouville (1809-1882) demostró que

Teorema 43   cualquier número de la forma

$$\frac{a_{1}}{10}+\frac{a_{2}}{10^{2!}}+\frac{a_{3}}{10^{3!}}+\cdots$$

donde los $a_{i}$ son enteros arbitrarios tales que $0\leq a_{i}\leq9$, es transcendente.

Para demostrarlo Liouville primero probó algunos teoremas sobre aproximación de irracionales algebraicos por números racionales.

Ejemplo 44   Por ejemplo, el número 0,10010001... es un número trascendente así como todos los números de la forma particular $\sum_{n=1}\frac{1}{10^{n!}}$.

Liouville probó que

Lema 45   si p/q es cualquier aproximación a un irracional x de grado n, con p y q enteros, entonces existe un número positivo M tal que $\vert x-\frac{p}{q}\vert>\frac{M}{q^{n}}$.

Esto significa que cualquier aproximación racional a un irracional algebraico de grado n por cualquier $\frac{p}{q}$ debe ser menos precisa que $\frac{M}{q^{n}}$. Por otra parte podemos decir que si x es un irracional algebraico de grado n, hay un número positivo M tal que la desigualdad $\vert x-\frac{p}{q}\vert>\frac{M}{q^{\mu}}$. no tiene soluciones en los enteros p y q para µ=n y por lo tanto para µ menor o igual que n. Luego M es trascendente si para un M fijo y para todo entero positivo µ la desigualdad tiene una solución p/q. Demostrando que sus irracionales satisfacen este último criterio, Liouville probó que eran trascendentes.

El siguiente gran descubrimiento en el reconocimiento de los números trascendentes específicos fue la demostración de Hermite (1822-1901) en 1873 de que

Teorema 46   e es transcendente.

La demostración de Hermite consiste esencialmente en demostrar que la ecuación $C_{0}+C_{1}e+C_{2}e^{2}+\cdots+C_{n}e^{n}=0$ donde e, que es el número de Euler, no puede existir. En la última parte de su memoria, Hermite aplica su método de demostración para obtener aproximaciones tales como $e=\frac{58291}{21444}$ y $e^{2}=\frac{158452}{21444}$

Después de obtener este resultado, Hermite escribió a Carl Wilhelm Borchardt (1817-80), No me he atrevido a intentar la demostración de la transcendencia de $\pi$. Si otros lo intentan nadie será más feliz  que yo, pero créeme, mi querido amigo, no dejará de costarles algunos esfuerzos.

Lindemann (1852-1939) demostró la trascendencia del número $\pi$ en una memoria publicada en los Mathematische Annalen en 1882, bajo el título de Uber diez Zahl (Sobre el número). Siguiendo un método semejante al de Hermite, Lindemann demuestra que el número e no puede satisfacer idénticamente la ecuación

$$C_{1}e^{x_{1}}+C_{2}e^{x_{2}}+\cdots+C_{n}e^{x_{n}}=0$$ (3.4.1)

donde los $x_{i}$ son números algebraicos distintos, reales o complejos, y los $C_{i}$ son números algebraicos que no son todos nulos. Primero, demuestra que

Lema 47   la ecuación $e^{ix}+1=0$ no tiene solución para un x algebraico.

En efecto, hagamos en n=2,$C_{1}=1$ y $x_{2}=0$. Se constata que $e^{x_{1}}$ no puede ser algebraico para un $x_{1}$ que sea algebraico diferente de 0. Como $x_{1}$ puede ser 1, $e$ es trascendente. Así, sabiendo que $e^{i\pi}+1=0$ para $x=\pi$, el número $i\pi$ no puede ser algebraico. Pero i es un número algebraico, por lo que

Teorema 48   $\pi$ ha de ser un número trascendente,

ya que el producto de dos números algebraicos es algebraico.