Números cardinales y ordinales

Habiendo demostrado la existencia de conjuntos con las mismas y diferentes potencias, Cantor continuó este concepto de potencia de un conjunto e introdujo una teoría de números cardinales y ordinales en la que los cardinales transfinitos y ordinales son los elementos llamativos. Cantor desarrolló este trabajo en el Mathematische Annalen, en artículos de 1879 a 1884 bajo el titulo Sobre Agragaciones Lineales Infinitas de Puntos.

Señala que su teoría de números transfinitos o infinitos es diferente del concepto  de infinito donde se habla de una variable tendiendo a ser infinitamente pequeña o grande.

Definición 61   Dos conjuntos en correspondencia uno a uno tienen la misma potencia o número cardinal.

Para conjuntos finitos el número cardinal es el número usual de objetos del conjunto. Para conjuntos infinitos se introducen nuevos números cardinales.

El número cardinal de un conjunto de números enteros lo nota como $\aleph_{0}$. Puesto que los números reales no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los enteros, el conjunto de los números reales debe tener otro número cardinal que nota por $c$.

Si dos conjuntos M y N son tales que N puede ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto de M, pero no M con uno de N, el número cardinal de M es mayor que el de N. Por lo tanto $c>\aleph_{0}$.

Para obtener un número cardinal mayor que uno dado, consideramos cualquier conjunto M que representa al segundo número cardinal y consideramos el conjunto N de las partes de M; Cantor probó que suponer que hay una correspondencia uno a uno entre los elementos m de M y N nos lleva a una contradicción. Luego

Teorema 62   el número cardinal del conjunto de las partes de un conjunto dado es mayor que el del conjunto.

Cantor también define la suma, el producto y la potencia de números cardinales.

Cantor llama la atención sobre el hecho de que su teoría de números cardinales se aplica en particular a cardinales finitos, y así da el más natural, corto y riguroso fundamento para la teoría de números finitos.

El siguiente concepto es el de número ordinal;

Definición 63   un conjunto W es un número ordinal si puede ser bien ordenado de manera que para todo elemento v de W el segmento inicial I(v) de W sea igual a v, donde I(v)={0, 1, 2,....,v-1}.

Ejemplo 64   Por ejemplo, el número natural 3 es un número ordinal, porque I(3)=3, y de la misma manera todo número natural es un número ordinal. Además, el conjunto W de todos los números naturales situados en el orden natural es también un número ordinal.

Dos conjuntos ordenados son equivalentes si hay una correspondencia uno a uno entre ellos y si, cuando $m_{1}$ corresponde a $n_{1}$ y $m_{2}$ a $n_{2}$ y $m_{1}<m_{2}$, entonces $n_{1}<n_{2}$. Como ejemplos de conjuntos ordenados, podemos usar cualquier conjunto finito de números en cualquier orden dado. Para un conjunto finito, no importa cual sea el orden el número ordinal y el símbolo que puede tomarse como el número cardinal del conjunto de números en el conjunto es el mismo. El número ordinal del conjunto de enteros positivos en su orden natural se nota por $w$. Por otro lado el conjunto de enteros positivos en orden decreciente .....4, 3, 2, 1, se nota por $^{*}w$. El conjunto de enteros positivos y negativos y el cero en el orden usual tiene el número ordinal $^{*}w+w$.

Cantor define la suma y multiplicación de números ordinales. Luego introduce el conjunto completo de ordinales transfinitos, para definir con precisión los números cardinales transfinitos más altos. Para introducir estos nuevos ordinales restringe los conjuntos ordenados a los conjuntos bien ordenados.

Definición 65   Un conjunto es bien ordenado si tiene un primer elemento en la ordenación y si todo subconjunto tiene un primer elemento.

Hay una jerarquía de números ordinales y cardinales. En la primera clase notada por $Z_{1}$ están los ordinales finitos 1, 2, 3,... En la segunda clase $Z_{2}$ están los ordinales $w$, $w+1$, $w+2$,...,$2w$, $2w+1$,..., $3w$, $3w+1$,..., $w^{2}$, $w^{3}$,..., $w^{w}$,.... Cada uno de estos ordinales es el ordinal de un conjunto cuyo número cardinal es $\aleph_{0}$.

El conjunto de ordinales en $Z_{2}$ tiene un número cardinal. El conjunto no es numerable y así Cantor introduce un nuevo número cardinal $\aleph_{1}$ como el número cardinal del conjunto $Z_{2}$. Se demuestra que es el siguiente cardinal después de $\aleph_{0}$.

Los ordinales de la tercera clase $Z_{3}$son $\Omega$, $\Omega+1$, $\Omega+2$, ..., $\Omega+\Omega$ ,... Estos son los números ordinales de conjuntos bien ordenados. Cada uno de los cuales tiene $\aleph_{1}$ elementos. En cualquier caso, conjuntos de ordinales $Z_{3}$ tienen más de $\aleph_{1}$ elementos y Cantor notó el número cardinal de este conjunto por $\aleph_{2}$. Esta jerarquía de ordinales y cardinales se puede continuar indefinidamente.