Problemas de Hilbert Relativos a la teoría de Números

En una conferencia pronunciada en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900, Hilbert intentó basándose en las principales tendencias de las investigaciones matemáticas de fines del siglo XIX, predecir de alguna manera la o las direcciones futuras de los progresos matemáticos. Para ello, propuso 23 problemas que, para él, representaban los puntos de discusión que podrían hacer progresar las matemáticas.

El primer problema se refiere a la estructura del continuo de los números reales:

• ¿Existe un cardinal entre $\aleph_{0}$ y $c$?
• El continuo numérico, ¿puede ser considerado como un conjunto bien ordenado?

Los trabajos de Gödel en 1943 y Paul Cohen en 1963 parecen impedir que se pueda llegar a una solución bien definida de este problema.

El segundo problema tiene que ver con la cuestión de saber si se puede demostrar que los axiomas de la aritmética son consistentes, es decir que un número finito de etapas lógicas fundamentadas en esos axiomas no puede conducir nunca a resultados contradictorios. La respuesta de Gödel en 1931 resolvió negativamente este segundo problema, porque demostró que en el interior de un sistema existe siempre una proposición al menos que no puede ser demostrada basándose únicamente en los axiomas del sistema.

El séptimo problema consiste en saber si $\alpha^{\beta}$ donde $\alpha$ es algebraico y diferente de 0 y de 1, y ß es irracional y algebraico, es trascendente. El problema fue resuelto en 1934 por Gelfond. Otras cuestiones relativas a este problema no han sido todavía resueltas: si $\alpha$ y ß son trascendentes, ¿es $\alpha^{\beta}$ trascendente?.