Números decimales

Durante los siglos XVI y XVII, los procedimientos operacionales con números reales se perfeccionaron y extendieron. En Bélgica encontramos a Stevin defendiendo en La Disme (Aritmética decimal, 1585) el uso de decimales, en vez de la notación sexagesimal, para escribir y operar con fracciones. Otros -Christoff Rudolff (1500-1545), Vieta, y el árabe al-Kashî (1436)- los habían usado previamente. Escribe 5912 como 5 0 9 1 1 2 2 3, o como 5, 9' 1” 2”'. Escribía Stevin dentro de un círculo, encima o a continuación de cada dígito, la potencia de 10 que debería llevar como divisor. Así, por ejemplo el valor aproximado de $\pi$ aparecería escrito como 3 0 1 1 4 2 1 3 6 4 o 3 1 4 1 6 y en lugar de las palabras décima, centésima, etc., utilizaba Stevin primo, segundo, etc., de la misma manera que designamos nosotros aún hoy los diferentes lugares en las fracciones sexagesimales.

Stevin tenía evidentemente una idea correcta de las fracciones decimales, pero su notación para los diferentes lugares , inspirada por la de Bombelli, era más adecuada para el álgebra que para la aritmética. Pero por fortuna la notación moderna no iba a tardar ya en llegar. En la traducción al inglés de la Descriptio de Napier, en 1616, las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. En su Rhabdologia de 1617, en la que describe la manera de calcular utilizando sus varillas, se refiere Napiere a la aritmética decimal de Stevin y propone un punto o una coma como signo de separación decimal. En la Constructio de Napier de 1619 se consagró el uso del punto decimal en Inglaterra, pero en muchos otros países europeos se continúa utilizando hoy la coma decimal. Vieta perfeccionó y extendió los métodos de efectuar raíces cuadradas y cúbicas. En aritmética Vieta formuló una decidida defensa del uso de las fracciones decimales en vez de las sexagesimales. Así, escribía en una de sus primeras obras, el Canon-mathematicus de 1579:

Los sexagesimales y los sesentas han de ser usados raramente o nunca en la matemática, mientras que los milésimos y los miles, los centésimos y los cientos, los décimos y los dieces, y las progresiones semejantes, ascendentes y descendentes, deben usarse frecuentemente y aún exclusivamente.

Tanto en sus cálculos como en sus tablas sigue Viete al pie de la letra este principio y utiliza fracciones decimales. Por ejemplo, al hablar de los lados de los cuadrados inscrito y circunscrito a una circunferencia de diámetro 200.000, los expresa como $141.421^{.356.24}$ y $200.000^{.000.00}$ respectivamente, y su medida como $177.245^{.385.09}$. Unas páginas más adelante escribe la longitud de la semicircunferencia como $314.159^{\frac{265.35}{1.000.00}}$, y un poco más adelante este mismo número aparece como 314.159.265.36, con la parte entera en negrita. En algunas ocasiones utiliza un guión vertical para separar la parte entera de la fraccionaria, como al escribir la apotema del polígono regular de 96 lados inscrito en una circunferencia de diámetro 200.000, como 99.946|458.75 aproximadamente.

El uso del punto para separar la parte entera de la parte decimal de un número se atribuye o bien a G. A. Magini (1555-1617), en su De planis triangulis de 1592, o bien a Christoph Clavius (1537-1612), en una tabla de senos de 1593. Sin embargo, el punto decimal no se popularizó hasta que lo usó Napier más de 20 años después.

El uso de fracciones continuas en aritmética es otro acontecimiento de la época. Podemos rebatir que los hindús -Äryabhata en particular- hubieran usado fracciones continuas para resolver ecuaciones lineales indeterminadas. Bombelli, en su Algebra (1572), fue el primero que las usó aproximando raíces cuadradas. Para aproximar $\sqrt{2}$ escribe:

$$\sqrt{2}=1+\frac{1}{y}$$ (1.5.1)

de aquí halla

$$y=1+\sqrt{2}$$ (1.5.2)

sumando 1 a los dos miembros de y usando , consigue que:

$$y=2+\frac{1}{y}$$ (1.5.3)

y por y obtiene:

$$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{y}}$$ (1.5.4)

y, puesto que $y$ viene dado por ,

$$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{y}}}$$

Por repetidas sustituciones del valor de y, Bombelli obtiene

$$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}}$$

También se escribe como $\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+}\frac{1}{2+}\frac{1}{2+}\cdots$ Esta fracción continua es simple porque todos los numeradores son 1; es periódica porque los denominadores se repiten. No consideró, sin embargo, la cuestión de si la expansión convergía al número que se suponía representaba.

El matemático inglés John Wallis en su Arithmetica Infinitorum (1655), representaba $\frac{4}{\pi}$como el producto infinito $\frac{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdots}{2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdots}$.

En este libro dice que Lord William Brouncker (1620-1684), primer presidente de la Royal Society, había transformado este producto en la fracción continua

$$\frac{4}{\pi}=1+\frac{1}{2+}\frac{9}{2+}\frac{25}{2+}\frac{49}{2+}\cdots$$

No se sabe como obtuvo Brouncker este resultado, pero una demostración basada en la obra de Euler aparece en el capítulo sobre Brouncker del libro de J. L. Coolidge The Mathematics of Great Amateurs (1949).

Brouncker no hizo más uso de esta fórmula. Wallis, sin embargo, retomó el trabajo. En su Opera Mathematica, I (1695) donde introdujo el término fracción continua„ dio la regla general para calcular la convergencia de una fracción continua. Esto es, si $\frac{P_{n}}{Q_{n}}$ es el n-ésimo convergente de la fracción continua $\frac{b_{1}}{a_{1}+}\cdot\frac{b_{2}}{a_{2}+}\cdot\frac{b_{3}}{a_{3}+}\cdots$ entonces $\frac{P_{n}}{Q_{n}}=\frac{a_{n}P_{n-1}+b_{n}P_{n-2}}{a_{n}Q_{n-1}+b_{n}Q_{n-2}}$

Ningún resultado definitivo sobre la convergencia de $\frac{P_{n}}{Q_{n}}$ hacia el número que representa la fracción continua se había obtenido hasta entonces.