La teoría de números en los siglos XVI y XVII. Fermat

El primer europeo que hizo grandes contribuciones a la teoría de números y dio al tema un enorme impulso fue Pierre de Fermat (1601-1665). Nacido en una familia de artesanos fue instruido como abogado en la ciudad francesa de Toulosse y vivió de esta profesión. Aunque las matemáticas fueron un hobby para Fermat y sólo les pudo dedicar ratos de ocio, contribuyó con resultados de primera clase a la teoría de números y al cálculo, fue uno de los dos creadores de la geometría coordenada , y junto con Pascal inició el trabajo sobre probabilidad. Como todos los matemáticos de su siglo, trabajó sobre problemas de ciencia e hizo una contribución duradera a la óptica: El Principio de Fermat del Tiempo Mínimo. La mayoría de los resultados de Fermat se conocen a través de cartas que escribió a sus amigos. Sólo publico unos pocos documentos, pero algunos de sus libros y documentos fueron publicados después de su muerte.

Fermat creía que la teoría de números estaba descuidada. En una ocasión se quejó de que difícilmente alguien proponía o entendía las cuestiones aritméticas y preguntaba, ¿Se debe al hecho de que hasta ahora la aritmética ha sido tratada geométricamente más que aritméticamente?. Incluso Diophantus, observó, estuvo algo atado a la geometría. La Aritmética, creía, tiene un dominio especial de su propiedad, la teoría de números enteros.

El trabajo de Fermat en la teoría de números determinó la dirección del trabajo en este área hasta que Gauss hizo sus contribuciones. El punto de partida de Fermat fue Diophantus. Se habían hecho numerosas traducciones de la última Arithmetica por los matemáticos del Renacimiento. En 1621 Bachet de Méziriac publicó el texto griego y una traducción latina. Esta era la edición que poseía Fermat; anotó la mayoría de sus resultados en los márgenes del libro, aunque unos pocos los comunicó a sus amigos en cartas. La copia con las anotaciones marginales de Fermat fue publicada en 1670 por su hijo.

Fermat enunció muchos teoremas sobre la teoría de números pero sólo en un caso dio una demostración, y era un esbozo. Los mejores matemáticos del siglo XVIII trabajaron con dureza para demostrar sus resultados. Todos resultaron correctos excepto por un error (que señalaremos más tarde) y un famoso teorema aún no demostrado para el cual las indicaciones son todas favorables. No hay duda de que tuvo gran intuición, pero no se cree que hiciera demostraciones para todas sus afirmaciones.

Un documento descubierto en 1879 entre los manuscritos de Huygens da un famoso método, llamado el método del descenso infinito, que fue introducido y usado por Fermat. Para comprender el método vamos a considerar el teorema enviado por Fermat en una carta a Martín Mersenne (1588-1648) fechada el 25 de diciembre de 1640, en el que enuncia que un primo de la forma 4n+1 puede expresarse de una y sólo una manera como la suma de dos cuadrados. Así 17 = 16+1 y 29 = 25+4. El método llamado de descenso infinito procede demostrando que si hay un primo de la forma 4n+1 que no posee dicha propiedad, entonces habrá un primo menor de la forma 4n+1 que no la posea. Luego, puesto que n es arbitrario, debe haber uno aún menor. Descendiendo a través de todos los valores positivos de n uno debe alcanzar n=1 y así el primo 4 1+1 = 5. Entonces 5 no puede cumplir la propiedad requerida. Pero puesto que 5 se puede expresar como la suma de dos cuadrados y sólo de una manera, así todo primo es de la forma 4n+1. Fermat envío este esquema de su método a su amigo Pierre de Carcavi en 1659. Fermat dice que usó el método para probar el teorema anterior pero su demostración no se encontró nunca. También dice que demostró otros teoremas por este método.

Dado que ningún entero de la forma 4n-1 puede ser suma de dos cuadrados, y todos los primos excepto 2 son de la forma 4n+1 o 4n-1, se pueden clasificar por el teorema de Fermat los números primos que se pueden expresar y los que no se pueden expresar como suma de dos cuadrados. El número primo 23, por ejemplo, no puede expresarse de dicha forma, mientras que el 29 sí puede expresarse como 2²+5². Fermat sabía también que un número primo de cualquiera de los dos tipos se puede expresar siempre como diferencia de dos cuadrados de una y sólo una manera.

El método del descenso infinito difiere de la inducción matemática. En primer lugar, el método no requiere que se muestre un caso en el que se cumple el teorema propuesto, porque se puede concluir el argumento por el hecho de que sólo el caso n=1 lleva a una contradicción de algún otro hecho conocido. Además, después de hacer una hipótesis apropiada para un valor de n, el método demuestra que hay un menor valor de n, pero no necesariamente el siguiente, para el cual la hipótesis es cierta. Finalmente el método refuta ciertas afirmaciones y es de hecho más útil para este propósito.

Ejemplo 1 Ilustremos este método aplicándolo a la demostración de que $\sqrt{3}$ no es racional: Supongamos que $\sqrt{3}=\frac{p_{1}}{q_{1}}$ , donde $p_{1}$ y $q_{1}$ son enteros positivos, tales que $p_{1}>q_{1}$ . Como $\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ , aislemos $\sqrt{3}$ del numerador y reemplacemos el otro por $\frac{p_{1}}{q_{1}}$ . Se tiene $\sqrt{3}=\frac{3q_{1}-p_{1}}{p_{1}-q_{1}}$ .

Es evidente que $3q_{1}-p_{1}$ y $p_{1}-q_{1}$ son enteros positivos en virtud de la desigualdad $\frac{3}{2}<\frac{p_{1}}{q_{1}}<2$ .

Sean $p_{2}$ y $q_{2}$ cada uno, respectivamente, inferior a $p_{1}$ y $q_{1}$ , y tales que $\sqrt{3}=\frac{p_{2}}{q_{2}}$ . Por iteración, se obtiene un descenso infinito en el cual $p_{n}$ y $q_{n}$ son enteros todavía más pequeños tales que $\sqrt{3}=\frac{p_{n}}{q_{n}}$ , esto lleva a la conclusión de que siempre existen enteros positivos más pequeños; por lo tanto, la premisa de que $\sqrt{3}$ es un cociente de enteros debe ser falsa.

En una anotación en el Diofantus y en la carta a Mersenne, Fermat generalizó sobre la bien conocida relación 3, 4, 5 del triángulo rectángulo afirmando los siguientes teoremas:

Teorema 2 Un primo de la forma 4n+1 es la hipotenusa de uno y sólo un triángulo rectángulo de lados enteros.

El cuadrado de (4n+1) es la hipotenusa de dos y sólo dos triángulos rectángulos; su cubo, de tres; su cuarta potencia, de cuatro; y así sucesivamente hasta el infinito.

Ejemplo 3 Como ejemplo, consideremos el caso de n=1. Entonces 4n+1 = 5 y 3,4,5 son los lados de un único triángulo rectángulo con 5 de hipotenusa. 5² es la hipotenusa de solamente dos triángulos rectángulos 15, 20, 25 y 7, 24, 25; 53 es la hipotenusa de tres y sólo tres triángulos rectángulos 75, 100, 125; 35, 120, 125 y 44, 117, 125. En la carta a Mersenne, Fermat declaraba que el mismo número primo 4n+1 y su cuadrado son cada uno la suma de dos cuadrados de una sola forma; el cubo y la cuarta potencia, cada uno de dos formas, y así hasta el infinito. Así para n=1, 5=4+1 y 5²=9+16; $5^{3}=4+121=25+100$ ; y así sucesivamente.

La carta continúa: Si un número primo que es la suma de dos cuadrados se multiplica por otro primo que también es suma de dos cuadrados, el producto será la suma de dos cuadrados de dos formas. Si el primer primo se multiplica por el cuadrado del segundo, el producto será la suma de dos cuadrados de tres formas; si se multiplica por el cubo del segundo, entonces el producto será la suma de dos cuadrados de 4 maneras; y así hasta el infinito.

Fermat enunció muchos teoremas sobre representación de números primos en la forma x²+2y², x²+3y², x²+5y², x²-2y², y otra formas semejantes, las cuales son ampliaciones de la representación como una suma de cuadrados. Así todo primo de la forma 6n+1 puede ser representado como x²+3y²; todo primo de la forma 8n+1 y 8n+3 puede representarse como x²+2y². Un primo impar (todos excepto el dos) puede expresarse como la diferencia de dos cuadrados de una y sólo una manera.

Hay dos teoremas de Fermat que merecen especial interés, el teorema menor y el teorema mayor de Fermat. El menor, comunicado por Fermat en una carta del 18 de Octubre de 1640 a su amigo Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675), dice que si n es un primo y a es un entero no divisible por n, entonces $a^{n}-a$ es divisible por n.

Este teorema fue enunciado por Fermat en una nota marginal en el Diophantus, junto al problema de Diophantus: dividir un número cuadrado dado en (una suma de) dos cuadrados. Fermat añadió, Por otra parte es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en otra, o en general cualquier potencia excepto un cuadrado en dos potencias con el mismo exponente. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esto, aunque el margen no es bastante grande para ponerla. Desafortunadamente, la demostración de Fermat, si la hubo, nunca se encontró y muchos de los mejores matemáticos no han podido probarlo. Fermat anunció en una carta a Carcavi que había usado el método del descenso infinito para probar el caso de n=4 pero no dio los detalles completos. Frénicle, usando las pocas indicaciones de Fermat, dio una demostración para ese caso en 1676, en su póstuma publicación Traité des triangles rectangles en nombres (Tratado sobre las propiedades numéricas de los triángulos rectángulos).

Anticipándonos, Euler probó el teorema para n=3. Puesto que el teorema es cierto para n=3 , es cierto para cualquier múltiplo de 3; pues si no fuera cierto para n=6, dice, entonces tendríamos x, y, z tales que $x^{6}+y^{6}=z^{6}$ pero entonces $(x^{2})^{3}+(y^{2})^{3}=(z^{2})^{3}$ , y el teorema sería falso para n=3. Por lo tanto sabemos que el teorema de Fermat es cierto para infinitos valores de n, pero aún no sabemos si es cierto para todos los valores de n. Por tanto es necesario probar el teorema sólo para n=4 y para n un primo impar; suponiendo primero que n no es divisible por un primo impar; entonces debe ser una potencia de dos, y puesto que es mayor que 2 debe ser 4 o divisible por 4. Tomemos n=4m. entonces la ecuación $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ se transforma en $(x^{m})^{4}+(y^{m})^{4}=(z^{m})^{4}$ .

Si el teorema no fuera cierto para n, no lo sería para m=4. Por tanto si es cierto para n=4, es cierto para todo n no divisible por un primo impar. Si n=pm donde p es un primo impar, entonces si el teorema no fuera cierto para n no sería cierto para el exponente p. Puesto que es cierto para n=p es cierto para cualquier n divisible por un primo impar.

Fermat cometió algunos errores. Creía que había encontrado una solución al viejo problema de lograr una fórmula que produjera primos para valores de la variable n. Ahora no es difícil demostrar que $2^{m}+1$ no puede ser un primo a menos que m sea una potencia de dos. En numerosas cartas fechadas en 1640 Fermat afirmaba lo contrario -es decir, que $2^{2^{n}}+1$ representa una serie de primos- aunque admitía que no había podido probarlo. Mas tarde dudo de su corrección. Así sólo se conocen los cinco primos 3,5,17,257 y 65.537 dados por la fórmula. Fermat enunció y esbozó la demostración por el descenso infinito del teorema: El área de un triángulo con un ángulo recto cuyos lados son números racionales no puede ser un número cuadrado. Este esquema es el único detallado dado por él, y se sucede como un corolario de que la solución de $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ en los enteros es imposible.

Sobre números poligonales Fermat anotó en el Diophantus el importante teorema de que todo positivo entero es triangular o la suma de dos o tres números triangulares; todo entero positivo es el cuadrado o la suma de 2, 3 o 4 cuadrados; todo entero positivo es pentagonal o la suma de 2, 3, 4 o 5 números pentagonales; y así sucesivamente para los números poligonales más altos. Se ha necesitado mucho trabajo para demostrar estos resultados que son correctos sólo si 0 y 1 se incluyen como números poligonales. Fermat afirma que lo demostró por el método del descenso infinito.

Los números perfectos, fueron estudiados por los griegos, y Euclides dio el resultado básico de que $2^{n-1}(2^{n}-1)$ es perfecto si $2^{n}-1$ es primo. Para n=2,3,5,7 los valores de $2^{n}-1$ son primos así que 6, 28, 496 y 8128 son números perfectos. Un manuscrito de 1456 daba correctamente 33.550.336 como el quinto número perfecto, corresponde a n=13. En su Epitome (1536) Hudalrich Regius también dio este quinto número perfecto. Pietro Antonio Cataldi (1552-1626) señaló en 1607 que $2^{n}-1$ es primo para n=13, 17 y 19. También Fermat trabajó sobre el tema de los números perfectos. Consideró cuándo $2^{n}-1$ es primo y en una carta a Mersenne de Junio de 1640 enunciaba estos teoremas:

Teorema 5 Si n no es primo $2^{n}-1$ no es primo.

Si n es primo, $2^{n}-1$ sólo es divisible por primos de la forma 2kn+1 si es divisible del todo.

Ahora se conocen unos 20 números perfectos. Si existe algún número impar es una cuestión abierta.

Redescubriendo una regla enunciada antes por Tâbit ibu Qorra, Fermat dio en 1636 un segundo par de números amigos, 17.926 y 18.426 (la primera, 220 y 284, la dio Pitágoras), y Descartes en una carta a Mersenne dio un tercer par, 9.363.548 y 9.437.506.

Fermat descubrió el problema de resolver x²-Ay² = 1, donde A es entero y no es un cuadrado. El problema tiene una larga historia entre los griegos e indios. En una carta a Frénicle de Febrero de 1657, Fermat enunciaba el teorema de que x²-Ay² = 1 tiene un número ilimitado de soluciones cuando A es positivo y no es un cuadrado perfecto. Euler erróneamente la llamo ecuación de Pell, ahora se conoce así. En la misma carta Fermat desafiaba a todos los matemáticos a encontrar infinitas soluciones enteras. Lord Brouncker dio soluciones, aunque no probó que fueran infinitas. Wallis resolvió el problema y dio sus soluciones en cartas de 1657 y 1658. Fermat también afirmó que podía demostrarlo cuando x²-Ay²=B, para A y B dados es resoluble y se puede resolver. No se sabe cómo resolvió Fermat las ecuaciones, aunque dice en una carta que usó el método del descenso para ello.