Vamos a ver un ejemplo de cómo usar pythontex en LyX para estudiar la monotonía de una función racional y obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en un punto. Además, usando Sympy Plotting Backends’s realizaremos la representación gráfica del problema (gráfica de la función y de la recta tangente).
Para la realización de las tabla de monotonía y la tabla de extremos se hace uso de pandas y se usan las herramientas de estilo de esta librería. Algunos parámetros usados en el método que permite exportar a LaTeX solo están disponibles para las últimas versiones de pandas. En consecuencias, si trabajamos con Ubuntu 22.04 para que no nos dé error al intentar compilar el fichero fuente LyX, hay que actualizar la librería pandas a sus últimas versiones con el comando:
pip install -U pandas
Ambas tablas se crean/ajustan de forma dinámica a partir de las soluciones obtenidas a partir del enunciado del problema.
El tipo de ejercicio que se puede realizar a partir del fichero LyX no solo permite trabajar con funciones polinómicas, también podemos trabajar con otro tipo de funciones siempre que su dominio sea todo \(\mathbb{R}\) y que al construir la función racional no tengan infinitos puntos críticos.
Los parámetros básicos que podemos modificar en el programa se resumen en el código:
#punto para obtener la recta tangente, tiene que pertenecer al dominio prt=2 #prt=pi #Defino la función como un cociente de polinomios #num=x**2+3*x+4 #den=2*x+2 #Otro ejemplo num=x**3 den=(x-1)**2 #No tienen que ser solo polinómicas, pero sí con cada parte definida en todo R #num=exp(x) #den=(x+1)**3 #Otro ejemplo #num=x**2+x+1 #den=exp(x) #Redondeo r=4
En el recuadro anterior hay otros ejemplos que podemos probar y que están comentados.
En realidad, solo nos interesa introducir tres datos:
- num
- para el numerador de la función racional
- den
- para el denominador de la función racional
- prt
- valor de la abscisa en la que obtener la ecuación de la recta tangente.
Para los datos descomentados del listado de código anterior se obtiene de enunciado:
Ejercicio
Dada la función \(f(x)={\displaystyle \frac{x^{3}}{x^{2}-2x+1}}\)
- Estudia la monotonía de la función \(f\).
- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=2\).
y de solución:
- Dominio
\(x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^{2}=0\Leftrightarrow \\ x=\left\{ 1\right\}\) \(\Rightarrow Dom(f)=\mathbb{R}-\left\{ 1\right\}\).
La derivada de la función es
\(f'(x)=\dfrac{\frac{d}{dx}x^{3}\cdot\left(x^{2}-2x+1\right)-\left(x^{3}\right)\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}-2x+1\right)}{\left(x^{2}-2x+1\right)^{2}}=\)
\(=\dfrac{\left(3x^{2}\right)\cdot\left(x^{2}-2x+1\right)-\left(x^{3}\right)\cdot\left(2x-2\right)}{\left(x^{2}-2x+1\right)^{2}}={\displaystyle \frac{x^{2}\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)^{3}}}\)
\(\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow{\displaystyle \frac{x^{2}\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)^{3}}=}0\Leftrightarrow x^{2}\cdot\left(x-3\right)=0\Rightarrow x=\left\{ 0,3\right\}\)
Tabla de monotonía
Intervalos \(\left]-\infty,0\right[\) \(\left]0,1\right[\) \(\left]1,3\right[\) \(\left]3,+\infty\right[\) S(\(f'\)) \(+\) \(+\) \(-\) \(-\) Monotonía Creciente Creciente Decreciente Creciente De la tabla anterior podemos deducir que
Extremos de la función Mínimo en \(\left(3,f\left(3\right) \right)=\left(3,\ \frac{27}{4}\right)\approx\left(3.0,\ 6.75\right)\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=2\).
Por el apartado anterior sabemos la derivada de \(f\). Tenemos que calcular:
\(\left.\begin{array}{c} f(2)=8\\ f'(2)=-4 \end{array}\right\} \Rightarrow\) la recta pedida es de la forma \(\left(y-\left(8\right)\right)=-4\cdot(x-2)\)
Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación.