Estudio de las asíntotas de una función

Continuamos con el estudio de las asíntotas de una función y en esta ocasión se facilita un fichero LyX, en el que se usa el paquete pythontex y la librería sympy de python que permite encontrar todas las asíntotas de cualquier función que no tenga infinitas asíntotas verticales. El código usado no es muy elegante y se puede mejorar y simplificar, pero tal cual está funciona aceptablemente bien en la mayoría de funciones que podemos introducir como dato.

La solución encuentra el dominio de la función y se determinan todas las posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Además, para tener una idea visual del problema, se realiza una representación gráfica de la función que permite visibilizar que el resultado obtenido es correcto. Para poder representar bien las funciones sin tener problemas con los puntos singulares, se hace uso de la librería Sympy Plotting Backends’s .

La salida final que se obtiene al compilar el fichero fuente discrimina si en un número que no pertenece al dominio hay una asíntota vertical o no, si tiene asíntotas horizontales y en su caso (no tiene) se procede a calcular las asíntotas oblicua. En el caso de tener asíntotas horizontales, no se realiza el cálculo de las asíntotas oblicuas.

El único valor a introducir en el problema es la expresión de la función:

#O la definimos de forma manual descomentando/comentando la línea
f=x**(abs(x)/x)+1/(x-3)

También podemos hacer uso del conjunto de funciones de prueba que se definen en el diccionario:

#Podemos seleccionar la función del diccionario
funciones={ "1": (x**2+2*x+1)/(x+1), "2": (x**3-1)/(x**2+1), "3": (x**3-1)/(x**3+1), "4": (x-1)/(x**2+1),
           "5": (x+1)/(x**2-1), "6": (x**3-4*x)/(x**2-1), "7": exp(x), "8": exp(-x),
           "9": log(x)/x, "10": log(-x)/x, "11": atan(x), "12": sqrt(x**2+1),
           "13": sqrt(x**4+1)/x, "14": x**(abs(x)/x)+1/x, "15": sqrt(x**2-1), "16": x+exp(-x),
           "17": sqrt(4-x**2), "18": (exp(x)+1)/(exp(x)-1), "19": 5*x+3*sqrt(x**2-1), "20": sqrt(x**2+3*x+2),
           "21": x**2/sqrt(x**2-1), "22": x/sqrt(x**2-1), "23": sin(x), "24": cos(x),
           "25": cos(x)*x, "26": exp(x)*sin(x), "27": sin(x)*cos(x), "28": sin(x)/x,
           "29": x*log(x), "30": x*log(-x), "31": x*log(abs(x)), "32": sin(x)/log(x),
           "33": exp(1/x)/x, "34": 1/(x**2-1), "35" : x-log(x) , "36" : sqrt(x**4-5*x**2+6)/x,
           "37": sin(x)-x, "38":x**abs(x)/(x-1), "39": log(abs(x))*x/(log(abs(x-1))), "40": x/atan(x) }

que se corresponden con las funciones:

Merece la pena comentar un caso en el que sympy no calcula bien un límite, se trata de la última función del diccionario anterior, es decir de la función:

\begin{equation*} f_{40}(x)=\dfrac{x}{\arctan(x)} \end{equation*}

al obtener las asíntotas oblicuas se obtiene de resultado que:

\begin{equation*} m_{i}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{1}{\arctan(x)}\right)=-\dfrac{2}{\pi} \end{equation*}

y que

\begin{equation*} n_{i}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{2x}{\pi}+\dfrac{x}{\arctan(x)}\right)=-\infty \end{equation*}

que es incorrecto, de hecho ese límite lo que vale en realidad es:

\begin{equation*} n_{i}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{2x}{\pi}+\dfrac{x}{\arctan(x)}\right)=\frac{4}{\pi^{2}} \end{equation*}

y, por tanto, sí tiene asíntota oblicua por la izquierda. En un error de esta versión de sympy (la 1.11.1) que espero se resuelva en versiones posteriores.

Lo más curioso es que sin embargo el otro límite

\begin{equation*} n_{d}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-\dfrac{2x}{\pi}+\dfrac{x}{\arctan(x)}\right)=\frac{4}{\pi^{2}} \end{equation*}

sí lo obtiene de forma correcta.

Para los datos de entrada, si se define la función de forma manual anterior, se obtiene de enunciado:

Ejercicio

Halla las asíntotas y las ramas infinitas de la función: \(f(x)=x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\)

Se ha optado por poner como ejemplo esa función porque tiene los tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas. El resultado de compilar el fichero LyX que se puede descargar al final del artículo para ese dato de entrada es:

Solución

En el ejercicio, hay que entender (salvo en algún caso de las asíntotas oblicuas, cuando el límite cuando \(x\rightarrow+\infty\) es el mismo que el límite cuando \(x\rightarrow-\infty\), que sí se usa bien) que cuando se escribe \(\infty\) es \(+\infty\)

Dominio

\(Dom(f)=\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,3\right)\cup\left(3,\infty\right)\).

Verticales

\(\left\{ \begin{array}{cc} \lim_{x\to0^{-}}\left(x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\right)= & -\infty\\ \lim_{x\to0^{+}}\left(x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\right)= & -\frac{1}{3} \end{array}\right.\Rightarrow\) La recta \(x=0\) es una asíntota vertical por la izquierda.

\(\left\{ \begin{array}{cc} \lim_{x\to3^{-}}\left(x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\right)= & -\infty\\ \lim_{x\to3^{+}}\left(x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\right)= & \infty \end{array}\right.\Rightarrow\) La recta \(x=3\) es una asíntota vertical.

Horizontales

\(\left\{ \begin{array}{cc} \lim_{x\to-\infty}\left(x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\right)= & 0\\ \lim_{x\to\infty}\left(x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\right)= & \infty \end{array}\right.\Rightarrow\) La recta \(y=0\) es una asíntota horizontal por la izquierda.

Oblicuas

Si procede \(\left\{ \begin{array}{cc} m= & {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}}\\ n= & {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-m\cdot x)} \end{array}\right.m,n\,\in\mathbb{R}\) e \(y=m\cdot x+n\)

\(\left\{ \begin{array}{c} m=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}}{x}\right)=1\\ n=\lim_{x\to\infty}\left(-x+x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}+\frac{1}{x-3}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\left(-x+x^{\frac{\left|{x}\right|}{x}}\right)\left(x-3\right)+1}{x-3}\right)=0 \end{array}\right.\Rightarrow\) La recta \(y=x\) es una asíntota oblicua por la derecha.

Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.