Tal cual se expone en el título de la entrada, lo que se va a mostrar es la forma de crear y resolver ejercicios en los que se pide que se hallen tres incógnitas para que una función definida a trozos sencilla (con una rama parabólica y otra lineal) sea continua y derivable en toda la recta real. Para la segunda parte del problema se usa pandas para construir la tabla de valores y la librería Sympy Plotting Backends’s para hacer una representación gráfica de la función definida a trozos solución.
Para poder obtener el gráfico, debemos tener instalada la librería Sympy Plotting Backends’s en la forma que se comenta en el artículo Punto simétrico de un punto respecto de una recta en el plano. Usando pythontex el archivo .lyx que se puede descargar al final del artículo permite resolver todo tipo de problemas con solo cambiar los datos que se introduzcan en el código python.
El enunciado genérico del problema que vamos a resolver es del tipo:
Halla los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) para que la siguiente función \(f(x)=\begin{cases} ax+b+x^{2} & \text{for}\:vx\geq x\\ cx+d & \text{otherwise} \end{cases}\) sea derivable en todo su dominio sabiendo que \(f(0)=f(pt)\). Representa de forma aproximada la función obtenida.
Los valores que permiten obtener diferentes tipos de problemas, en los que se mantiene el esqueleto anterior, se consiguen a partir de definir \(vx\), \(d\) y \(pt\). Esos tres valores podemos optar por obtenerlos de forma aleatoria (es la forma por defecto) o definirlos de forma manual.
# Valor entre el que obtener los números aleatorios del problema (-rg, + rg).
rg = 3
# Se van a obtener 3 valores aleatorios:
# d -> el término independiente de la ecuación de primer grado.
# vx -> punto de ruptura de la función de definida a trozos, no puede ser 0
# pt -> punto en el que imponer que f(pt)=f(0), se obligará a que no sea ni 0 ni el valor de vx
d = random.randint(-rg,rg)
vx = random.randint(-rg,rg)
# No quiero que sea cero
while 0==vx:
vx = random.randint(-rg,rg)
pt=random.randint(-rg,rg)
while pt==vx or pt==0:
pt = random.randint(-rg,rg)
# O podemos ponerlos de forma manual descomentando
#d = 2
#vx = 1
#pt = 3
A partir de unos valores obtenidos de forma aleatoria, se obtiene un ejercicio como el que sigue:
Ejercicio
Halla los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) para que la siguiente función \(f(x)=\begin{cases} ax+b+x^{2} & \text{for}\:x\leq3\\ cx-3 & \text{otherwise} \end{cases}\) sea derivable en todo su dominio sabiendo que \(f(0)=f(-2)\). Representa de forma aproximada la función obtenida.
Solución
Impongamos que \(f(0)=f(-2)\Rightarrow b=-2a+b+4\Rightarrow2a=4\)
- Continuidad:
\(\left.\begin{array}{c} {\displaystyle \lim_{x\rightarrow3^{-}}f(x)}=\lim_{x\to3^{-}}\left(ax+b+x^{2}\right)=3a+b+9\\ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow3^{+}}f(x)}=\lim_{x\to3^{+}}\left(cx-3\right)=3c-3 \end{array}\right\} \Rightarrow \\ 3a+b+9=3c-3\Rightarrow3a+b-3c=-12\)
Para que \(f\) sea derivable, imponemos que \(f'\) sea continua:
\begin{equation*} f'(x)=\begin{cases} a+2x & \text{for}\:x\leq3\\ c & \text{otherwise} \end{cases}\Rightarrow \end{equation*}\(\left.\begin{array}{c} f'(3^{-})={\displaystyle \lim_{x\rightarrow3^{-}}f'(x)}=\lim_{x\to3^{-}}\left(a+2x\right)=a+6\\ f'(3^{+})={\displaystyle \lim_{x\rightarrow3^{+}}f'(x)}=\lim_{x\to3^{+}}c=c \end{array}\right\} \Rightarrow \\ a+6=c\Rightarrow a-c=-6\)
Con las tres ecuaciones \(\begin{cases} 2a & =4\\ 3a+b-3c & =-12\\ a-c & =-6 \end{cases}\) se resuelve el sistema y se obtiene que \(\begin{cases} a= & 2\\ b= & 6\\ c= & 8 \end{cases}\)
La solución es:
\begin{equation*} f(x)=\begin{cases} x^{2}+2x+6 & \text{for}\:x\leq3\\ 8x-3 & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation*}Realizaremos una tabla de valores:
x \(f(x)\) -2 6 -1 5 0 6 1 9 2 14 3 21 4 29 5 37
Fichero fuente en formato LyX y el pdf final de una posible compilación.