Punto simétrico de un punto respecto de una recta en el plano

Paco Villegas |

En esta ocasión vamos a introducir el módulo Geometry de sympy para calcular el punto simétrico de un punto respecto de una recta en el plano. Además se usa la librería Sympy Plotting Backends’s para hacer una representación gráfica sencilla del problema. El fichero LyX, como siempre, permite resolver todo tipo de problemas con solo cambiar los datos que se introduzcan en el código python.

Para poder obtener el gráfico, debemos tener instalada la librería anterior, se puede conseguir con:

$ pip install sympy_plot_backends[all]

El motivo de usar esta interesante librería es que dispone de una serie de módulos que permiten hacer gráficos bastante complejos de una forma relativamente sencilla. En la web de la librería hay una gran cantidad de ejemplos así como una buena documentación sobre su uso.

Además, con el preámbulo usado en el fichero es necesario tener instalado el paquete

# apt install texlive-fonts-extra

El enunciado del problema que vamos a resolver es:

Dado el punto \(P=\left(1,\ 1\right)\) y la recta \(r\) que pasa por los puntos \(A\left(3,\ -3\right)\) y \(B\left(-1,\ 0\right)\).

  1. Halla la ecuación general de la recta \(r\) .
  2. Halla la ecuación de la recta \(s\) perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\).
  3. Halla la intersección de \(r\) y \(s\) (llama a este punto \(Q\)).
  4. Halla la distancia de \(P\) a \(r\): con la fórmula y hallando el módulo del vector \(\overrightarrow{PQ}\).
  5. Halla el punto simétrico \(P'\) del punto \(P\) respecto de la recta \(r\).

Los valores de entrada se consiguen con:

#El punto P no debe pertenecer a la recta
#Punto P
P=Point(1,1)

#Recta r, se define a partir de dos puntos por los que pasa
r=Line(Point(3,-3),Point(-1,0))

El gráfico creado para representar las dos rectas y los tres puntos se consigue con la línea de código:

graf=plot_geometry((r,"r"),(s,"s"),(P,"P"),(Q,"Q"),(Ps,"P'"),axis_center=(0,0),aspect="equal",show=False)

A partir de los valores de entrada anteriores, la solución del problema que se obtiene es:

  1. Un vector director de la recta \(r\) es de la forma \(\vec{u_{r}}=\left(-1,\ 0\right)-\left(3,\ -3\right)=\left(-4,\ 3\right)\) y su vector normal es de la forma \(\vec{n_{r}}=\left(-3,\ -4\right),\) por tanto la ecuación de la recta \(r\) tiene que ser de la forma

    \begin{equation*} -3x+\left(-4\right)y+C=0 \end{equation*}

    y como pasa por el punto \(A\left(3,\ -3\right)\Rightarrow\)

    \begin{equation*} -3\cdot\left(3\right)+\left(-4\right)\cdot\left(-3\right)+C=-9+\left(12\right)+C=0\Rightarrow3+C=0\Rightarrow C=-3 \end{equation*}

    \(r\equiv-3x-4y-3=0\)

  2. El vector director de la recta \(r\) es el vector normal de la recta \(s\) y como pasa por \(P=\left(1,\ 1\right)\), la ecuación de la recta perpendicular tiene que ser de la forma :

    \begin{equation*} 4x+\left(-3\right)y+C=0\Rightarrow4+\left(-3\right)+C=0\Rightarrow1+C=0\Rightarrow C=-1 \end{equation*}

    \(s\equiv4x-3y-1=0\)

  3. Tenemos que resolver el sistema: \(\begin{cases} r\equiv-3x-4y-3 & =0\\ s\equiv4x-3y-1 & =0 \end{cases}\). La solución es \(Q=\left(-\frac{1}{5},\ -\frac{3}{5}\right)\)

    \(d(P,r)=\dfrac{\left|\left(-3\right)\cdot\left(1\right)+\left(-4\right)\cdot\left(1\right)+\left(-3\right)\right|}{\sqrt{\left(-3\right)^{2}+\left(-4\right)^{2}}}=\dfrac{10}{5}=2\)

    \(\overrightarrow{PQ}=\left(-\frac{1}{5}-1,-\frac{3}{5}-1\right)=\left(-\frac{6}{5},\ -\frac{8}{5}\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{4}=2\)

  4. \(PM(P,P')=Q\Rightarrow P'=P+2\cdot\overrightarrow{PQ}=\left(-\frac{7}{5},\ -\frac{11}{5}\right)\)

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