Ejercicio de integral por partes de la funcion f(x)=xn·ln(xm)

Paco Villegas |

En segundo de bachillerato de ciencias se estudia el método de integración por partes. En el fichero que se facilita se realiza un ejercicio clásico en el que se usa este método de integración para calcular la integral de funciones del tipo \(f(x)=x^{n}\cdot\ln\left(x^{m}\right)\,\,m, n\in\mathbb{N}\). Se usa LyX/pythontex y la librería sympy para realizar los cálculos. La dificultad a nivel de programación del ejemplo que se muestra es mínima.

Solo hay que tener en cuenta los datos de entrada:

#Valor del exponente de la x
n=4

#Valor del exponente de la x del ln
m=2

#Coordenadas del punto con el que obtener la primitiva.
a=1
b=2

#Valor del tercer apartado.
vF=exp(1)

Para los datos anteriores se obtiene un enunciado del tipo:

Ejercicio

Sea \(f:R\to R\)  la función definida por \(f(x)=x^{4}\ln\left(x^{2}\right)\)

  1. Calcula \(\int f\left(x\right)\mathit{dx}\)
  2. Encuentra la primitiva de \(f\) cuya gráfica pasa por el punto \((1,2)\).
  3. Si definimos \(F(x)=\int\limits _{1}^{x}t^{4}\log\left(t^{2}\right)\,dt\), ¿es \(F\) derivable en \(e\)? justifica la respuesta. Si es que sí, calcula \(F'(e)\)

y se obtiene de:

Solución

  1. La realizaremos por partes

    \begin{equation*} \int x^{4}\ln\left(x^{2}\right)=\left\{ \begin{array}{c} u=\ln\left(x^{2}\right)\Rightarrow du=\frac{2}{x}\cdot dx\\ dv=dx\Rightarrow v=\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5} \end{array}\right\} = \end{equation*}
    \begin{equation*} \ln\left(x^{2}\right)\cdot\frac{x^{5}}{5}-\int\frac{2x^{4}}{5}\,dx= \end{equation*}
    \begin{equation*} =\frac{x^{5}\ln\left(x^{2}\right)}{5}-\frac{2x^{5}}{25}+C \end{equation*}

  2. Calculemos la primitiva solicitada:

    \begin{equation*} F(x)=C+\frac{x^{5}\ln\left(x^{2}\right)}{5}-\frac{2x^{5}}{25}\Rightarrow F(1)=C-\frac{2}{25}=2\Rightarrow \end{equation*}
    \begin{equation*} C=\frac{52}{25}\Rightarrow F(x)=\frac{x^{5}\ln\left(x^{2}\right)}{5}-\frac{2x^{5}}{25}+\frac{52}{25} \end{equation*}

  3. Sí es derivable ya que \(f(t)=t^{4}\ln\left(t^{2}\right)\) es continua y por el TFC tenemos que \(F'(x)=x^{4}\ln\left(x^{2}\right)\Rightarrow F'(e)=2e^{4}\)

Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.