En esta ocasión voy a mostrar como usar las herramientas usuales para ver la forma de resolver un ejercicio de cálculo de áreas para un par de funciones típicas en el cálculo integral de segundo de bachillerato. En concreto, en el fichero que se facilita se realiza un ejercicio para calcular el área comprendida entre dos curvas del tipo \(y=|x|-a\) e \(y=a-x^{2}\). Se usa LyX/pythontex y la librería sympy para los cálculos y realizar los gráficos. El código empleado no presenta casi ninguna dificultad.
Solo hay que tener en cuenta los datos de entrada:
# Número natural para hallar 'a' de forma que salgan soluciones enteras # en los puntos de corte de ambas funciones (intervalos de integración) # Es el valor positivo del intervalo de integración n = 2 # Calculamos a para que se obtengan valores enteros en los intervalos de # integración a = int((n**2 + n) / 2) # se puede optar por darle cualquier valor positivo # a = 2
Podemos optar por modificar el valor de \(n\) y obtendremos, manteniendo el tipo de ejercicio, diferentes valores de \(a\) y sus correspondientes enunciados y soluciones.
Para el valor de \(n=2\) se obtiene un enunciado como el que sigue:
Ejercicio
Dibuja el recinto plano limitado entre las funciones \(f(x)=\left|x\right|-3\) y \(g(x)=3-x^{2}\) y calcula su área.
y la correspondiente:
Solución
Empecemos por representar el recinto que nos piden.
- En primer lugar tenemos que tener en cuenta que \(f(x)=\begin{cases} -x-3 & \text{for}\:x\leq0\\ x-3 & \text{for}\:x>0 \end{cases}\). Para representarla solo debemos hacer dos tablas de valores a partir de la función definida a trozos anterior.
- Al dibujar el gráfico hemos debido obtener (al menos) los puntos de corte con el eje \(X\) de la parábola (función \(g(x)\)) que son \(\left(-\sqrt{3},0\right)\) y \(\left(\sqrt{3},0\right)\) así como su vértice \(\left(0,3\right)\).
Con los datos anteriores es fácil de hacer y daría
Tenemos que calcular el área de la figura sombreada:
Los puntos de corte de ambas gráficas se hallan a partir de resolver las dos ecuaciones que se obtienen de \(f(x)=g(x)\,\Rightarrow\)
\begin{align*} 3-x^{2}-\begin{cases} -x-3 & \text{for}\:x\leq0\\ x-3 & \text{for}\:x>0 \end{cases}=0\Rightarrow\begin{cases} -x^{2}+x+6=0 & x\leq0\\ -x^{2}-x+6=0 & x>0 \end{cases}\Rightarrow \\ x=\left\{ -2,2\right\} \end{align*}ya que hay que tener en cuenta que en cada caso una de las posible soluciones debemos descartarla.
Para calcular el área pedida, podemos hacerlo con dos trozos distintos o bien usar la simetría de la figura:
\(\int\left(-x^{2}-\left|x\right|+6\right)\,dx=\begin{cases} \int\left(-x^{2}+x+6\right)\,dx & x\leq0\\ \int\left(-x^{2}-x+6\right)\,dx & x>0 \end{cases}=\\=\begin{cases} -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+6x & \text{for}\:x\leq0\\ -\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+6x & \text{for}\:x>0 \end{cases}\)\begin{align*} A = \int_{-2}^{0}(3-x^{2}-(-x-3))\,dx+\int_{0}^{2}(3-x^{2}-(x-3))\,dx=\\=2\cdot\int_{0}^{2}(3-x^{2}-(x-3))\,dx= \end{align*}\begin{align*} =2\cdot\int_{0}^{2}(-x^{2}-x+6)\,dx=2\cdot\left.\left(-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+6x\right)\right]_{0}^{2}=2\cdot\frac{22}{3}=\\=\frac{44}{3}\cdot u^{2} \end{align*}
Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.