Ejercicio con fórmulas de probabilidad

Paco Villegas |

Se muestra un ejercicio en el que se hace uso de las fórmulas más usuales de probabilidad que se estudian en 2º de bachillerato de CCSS. El código python usado en esta ocasión es mínimo.

Para ejemplificar mediante gráficos el porqué de las fórmulas usadas se hace uso del paquete de venndiagram de LaTeX.

Los únicos datos de partida que se necesitan y que se pueden cambiar en el problema, son

# Redondeo
r = 3
# probabilidades de partida
pa = 0.63
pb = 0.27

Los ejercicios que se obtienen siempre tienen como solución el que los sucesos de partida son independientes.

Un ejercicio obtenido a partir de los datos anteriores es:

Ejercicio

Si sabemos que \(P(A)=0.63\), \(P(A\cup B)=0.73\) y \(P(\overline{A}\cup\overline{B})=0.83\).

  1. Calcula

    1. \(P(B)\)
    2. \(P(B/A)\)
    3. \(P(\overline{B}/A)\)
    4. \(P(A-B)\)
    5. \(P(\bar{A}\cup B)\)

  2. ¿Son independientes \(A\) y \(B\)?. Razona la respuesta.

y la correspondiente

Solución

\(A\) \(B\) \(A\cap B\) \(A\cup B\)
image image1 image2 image3

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow \\ P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)\)

solo falta tener en cuenta una de las Leyes de De Morgan para calcular \(P(A\cap B)\)

\(\bar{A}\) \(\bar{B}\) \(A\cap B\) \(\bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}\)
image4 image5 image6 image7

\(P(\bar{A}\cup\bar{B})=P(\overline{A\cap B})=0.83\,\Rightarrow P(A\cap B)=1-P(\overline{A\cap B})=\\=1-0.83=0.17\).

Por tanto:

  1. \(P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)=0.73-0.63+0.17=\\=0.27\)

  2. \(P(B/A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{0.17}{0.63}=0.27=P(B)\) así ya tendríamos que son independientes.

  3. \(P(\overline{B}/A)=1-P(B/A)=1-0.27=0.73\)

  4. \(P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=0.63-0.17=0.46\)

    \(A\) \(B\) \(A\cap B\) \(A-B=\\A-(A\cap B)\)
    image8 image9 image10 image11

  5. \(P(\bar{A}\cup B)=P(\bar{A})+P(B)-P(\bar{A}\cap B)\)

    \(P(\bar{A})=1-P(A)=1-0.63=0.37\)

    \(\bar{A}\) \(B\) \(A\cap B\) \(\bar{A}\cap B=\\B -A=\\B-(A\cap B)\)
    image12 image13 image14 image15

    \(P(\bar{A}\cap B)=P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=\\=0.27-0.17=0.1\)

    \(P(\bar{A}\cup B)=P(\bar{A})+P(B)-P(\bar{A}\cap B)=\\=0.37+0.27-0.1=0.54\)

    También se puede hacer con: \(P(\bar{A}\cup B)=P(\overline{A-B})=1-P(A-B)=1-0.46=0.54\)

    \(\bar{A}\) \(B\) \(A-B\) \(\bar{ A}\cup B\)=\(\overline{A-B}\)
    image16 image17 image18 image19
    1. Como \(P(A)\cdot P(B)=0.63\cdot0.27=0.17=0.17=P(A\cap B)\Rightarrow\) Son independientes.

Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.