Una de las cuestiones tipo en los exámenes de selectividad de Andalucía consiste en hallar dos parámetros de una función racional sencilla sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua y que su gráfica pasa por un punto. En el fichero LyX/pythontex creado, se resuelve un ejercicio de este tipo añadiendo la posibilidad de que los datos que se usan para resolver el problema se obtienen de forma aleatoria. Es decir, a partir de un solo enunciado podemos realizar, manteniendo la idea básica del problema, diferentes ejercicios en los que cambia la ecuación de la recta tangente y el punto por el que pasa la gráfica de la función. Para poder obtener diferentes enunciados y soluciones se usa de nuevo sympy.
Un ejercicio obtenido a partir de datos aleatorios es:
Ejercicio
Considera la función \(f(x)=\frac{a+x^{2}}{-b+x}\), para \(x\neq b\).
- Calcula \(a\) y \(b\) para que la gráfica de \(f\) pase por el punto \((4,\,1)\) y tenga a la recta \(y=x-5\) como asíntota oblicua.
- En el caso \(a=-7\) y \(b=-5\), calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) que pasa por el punto de abscisa \(x=1\).
y la correspondiente
Solución
Impongamos las dos condiciones que nos dan en el problema a la función:
La recta \(y=x-5\) es una asíntota oblicua, por tanto:
- \(m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a+x^{2}}{-bx+x^{2}}\right)=1\)
- \(n=\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-m\cdot x\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a+x^{2}}{-b+x}-1\cdot x\right)=\\ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{a+bx}{-b+x}\right)=b\)
de lo anterior obtenemos que \(b=-5\,\Rightarrow\,f(x)=\frac{a+x^{2}}{x+5}\)
La gráfica de \(f\) para por el punto \((4,\,1)\,\Rightarrow f(4)=1\,\Rightarrow\,\frac{a+16}{9}=1\,\Rightarrow a=-7\)
\(f(x)=\frac{x^{2}-7}{x+5}\)
La ecuación de la recta tangente en un punto de abscisa \(x=x_{0}\) es de la forma
\begin{equation*} \left(y-f(x_{0})\right)=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) \end{equation*}
\(x_{0}=1\Rightarrow f\left(1\right)=-1\)
\(f'(x)=\dfrac{\left(2x\right)\cdot\left(x+5\right)-\left(x^{2}-7\right)\cdot\left(1\right)}{\left(x+5\right)^{2}}=\frac{x^{2}+10x+7}{\left(x+5\right)^{2}}\,\Rightarrow\)
\(f'\left(1\right)=\frac{1}{2}\)
Por tanto la ecuación de la recta tangente pedida es:
\begin{equation*} \left(y+1\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(x-1\right) \end{equation*}La ecuación de la recta normal en un punto de abscisa \(x=a\) es de la forma
\begin{equation*} \left(y-f(x_{0})\right)=\dfrac{-1}{f'(x_{0})}\cdot(x-x_{0}) \end{equation*}Por tanto la ecuación de la recta normal pedida es:
\begin{equation*} \left(y+1\right)=\dfrac{-1}{\frac{1}{2}}\cdot(x-\left(1\right))=-2\cdot\left(x-1\right) \end{equation*}
Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.