Se muestra la forma de poder hacer ejercicios resueltos usando la Regla
de l’Hôpital en casos sencillos (sin tener que hacer transformaciones
añadidas). Para realizar el ejercicio se ha usado un poco de POO y de
funciones recursivas en python. Para calcular las derivadas y límites
uso sympy.
Antes de mostrar el tipo de ejercicios que se pueden resolver con el
fichero LyX/pythontex que se puede descargar al final de artículo, un
<<par>> de comentarios:
- El código creado solo permite resolver indeterminaciones del tipo
00 o ∞∞ no muy
complejas o que no necesiten de transformaciones intermedias
específicas. Para eso se tiene que pasar como argumento el numerador
y denominador de la función.
- Se simplifica de forma diferente el caso
∞∞ del tipo 00, en este
segundo caso no se hace ninguna simplificación intermedia tras
calcular las derivadas del numerador y del denominador. Dependiendo
de la función a la que se quiera obtener el límite puede que interesa
simplificar o no. Pero es algo que en su caso de tendrá que ver y
optar por ponerlo de forma manual para ese caso en concreto.
- No puedo garantizar que se obtenga la solución para todas las funciones.
Para crear diferentes ejercicios de cálculo de límites solo hay que
definir las funciones a las que calcular el límite. Las funciones, se
definen a partir de (punto, dirección, numerador, denominador). En el
fichero de ejemplo se definen 10 funciones a las que calculará el
límite, se pueden modificar (tanto las funciones como su número) y se
obtendrían ejercicios diferentes ya resueltos:
# Funciones, se definen con (punto, dirección, numerador, denominador)
# f = Funcion(pto,dir,n,d)
# si el límite es oo o -oo, dir se debe dejar vacío.
# Si usamos +- no pondrá nada
f1 = Funcion(1, '+-', 1-cos(2*pi*x), (x-1)**2)
f2 = Funcion(0, '+-', exp(x) - exp(-x) - 2 * x, x - sin(x))
f3 = Funcion(oo, '', x, (log(x))**3 + 2 * x)
f4 = Funcion(0, '+-', exp(x) - exp(-x), sin(x))
f5 = Funcion(0, '+-', log(1+x)-sin(x) , x*sin(x))
f6 = Funcion(0, '+-', sin(x) - x, x * sin(x))
f7 = Funcion(pi / 4, '+-', tan(x) - 1, cos(2 * x))
f8 = Funcion(0, '+', exp(1 / x), log(x))
f9 = Funcion(0, '+-', exp(x) - exp(sin(x)), x**3)
f10 = Funcion(0, '+-', cos(x) - exp(-2 * x) - 2 * x, (sin(x))**2)
Con los datos de entrada anteriores se obtiene de enunciado (no mantiene
el orden en que se han introducido anteriormente)
Ejercicio
Calcule
- limx→0(x−sin(x)−2x+ex−e−x)
- limx→∞(2x+log(x)3x)
- limx→0(sin(x)ex−e−x)
- limx→0(xsin(x)log(x+1)−sin(x))
- limx→0(xsin(x)−x+sin(x))
- limx→4π(cos(2x)tan(x)−1)
- limx→0+(log(x)ex1)
- limx→0(x3ex−esin(x))
- limx→0(sin2(x)−2x+cos(x)−e−2x)
- limx→1((x−1)21−cos(2πx))
y la correspondiente
Solución
- limx→0(x−sin(x)−2x+ex−e−x)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(1−cos(x)ex−2+e−x)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(sin(x)ex−e−x)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(cos(x)ex+e−x)=
2
- limx→∞(2x+log(x)3x)
= Indt [∞∞] L’Hôpital =
limx→∞2+x3log(x)21=
limx→∞(2x+3log(x)2x)
= Indt [∞∞] L’Hôpital =
limx→∞2+x6log(x)1=
limx→∞(2x+6log(x)x)
= Indt [∞∞] L’Hôpital =
limx→∞2+x61=
limx→∞(2x+6x) = Indt
[∞∞] L’Hôpital =
limx→∞21= 21
- limx→0(sin(x)ex−e−x)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(cos(x)ex+e−x)=
2
- limx→0(xsin(x)log(x+1)−sin(x))
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(xcos(x)+sin(x)−cos(x)+x+11)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(−xsin(x)+2cos(x)sin(x)−(x+1)21)=
−21
- limx→0(xsin(x)−x+sin(x))
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(xcos(x)+sin(x)cos(x)−1)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(−−xsin(x)+2cos(x)sin(x))=
0
- limx→4π(cos(2x)tan(x)−1)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→4π(2sin(2x)−tan2(x)−1)=
−1
- limx→0+(log(x)ex1)
= Indt [∞∞] L’Hôpital =
limx→0+(−xex1)=
limx→0+(−xex1)=
−∞
- limx→0(x3ex−esin(x))
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(3x2ex−esin(x)cos(x))
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(6xex+esin(x)sin(x)−esin(x)cos2(x))
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(6ex+2esin(x)sin(x)cos(x)−6esin(x)cos3(x)+6esin(x)cos(x))=
61
- limx→0(sin2(x)−2x+cos(x)−e−2x)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(2sin(x)cos(x)−sin(x)−2+2e−2x)
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→0(−2sin2(x)+2cos2(x)−cos(x)−4e−2x)=
−25
- limx→1((x−1)21−cos(2πx))
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→1(2x−22πsin(2πx))
= Indt [00] L’Hôpital =
limx→1(2π2cos(2πx))=
2π2
Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos
de entrada anteriores.