Una de las cuestiones tipo en los exámenes de selectividad de Andalucía
consiste en hallar dos parámetros de una función racional sencilla
sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua y que su gráfica pasa
por un punto. En el fichero LyX/pythontex creado, se resuelve un
ejercicio de este tipo añadiendo la posibilidad de que los datos que se
usan para resolver el problema se obtienen de forma aleatoria. Es decir,
a partir de un solo enunciado podemos realizar, manteniendo la idea
básica del problema, diferentes ejercicios en los que cambia la ecuación
de la recta tangente y el punto por el que pasa la gráfica de la
función. Para poder obtener diferentes enunciados y soluciones se usa de
nuevo sympy.
Un ejercicio obtenido a partir de datos aleatorios es:
Ejercicio
Considera la función f(x)=−b+xa+x2, para
x=b.
- Calcula a y b para que la gráfica de f
pase por el punto (4,1) y tenga a la recta y=x−5
como asíntota oblicua.
- En el caso a=−7 y b=−5, calcula la ecuación de la
recta normal a la gráfica de f que pasa por el punto de
abscisa x=1.
y la correspondiente
Solución
Impongamos las dos condiciones que nos dan en el problema a la función:
La recta y=x−5 es una asíntota oblicua, por tanto:
- m=limx→∞xf(x)=limx→∞(−bx+x2a+x2)=1
- n=limx→∞(f(x)−m⋅x)=limx→∞(−b+xa+x2−1⋅x)=limx→∞(−b+xa+bx)=b
de lo anterior obtenemos que
b=−5⇒f(x)=x+5a+x2
La gráfica de f para por el punto
(4,1)⇒f(4)=1⇒9a+16=1⇒a=−7
f(x)=x+5x2−7
La ecuación de la recta tangente en un punto de abscisa
x=x0 es de la forma
(y−f(x0))=f′(x0)⋅(x−x0)
x0=1⇒f(1)=−1
f′(x)=(x+5)2(2x)⋅(x+5)−(x2−7)⋅(1)=(x+5)2x2+10x+7⇒
f′(1)=21
Por tanto la ecuación de la recta tangente pedida es:
(y+1)=21⋅(x−1)
La ecuación de la recta normal en un punto de abscisa
x=a es de la forma
(y−f(x0))=f′(x0)−1⋅(x−x0)
Por tanto la ecuación de la recta normal pedida es:
(y+1)=21−1⋅(x−(1))=−2⋅(x−1)
Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos
de entrada anteriores.