Ejercicio con fórmulas de probabilidad

Se muestra un ejercicio en el que se hace uso de las fórmulas más usuales de probabilidad que se estudian en 2º de bachillerato de CCSS. El código python usado en esta ocasión es mínimo.

Para ejemplificar mediante gráficos el porqué de las fórmulas usadas se hace uso del paquete de venndiagram de LaTeX.

Los únicos datos de partida que se necesitan y que se pueden cambiar en el problema, son

# Redondeo
r = 3
# probabilidades de partida
pa = 0.63
pb = 0.27

Los ejercicios que se obtienen siempre tienen como solución el que los sucesos de partida son independientes.

Un ejercicio obtenido a partir de los datos anteriores es:

Ejercicio

Si sabemos que $P(A)=0.63$ , $P(A\cup B)=0.73$ y $P(\overline{A}\cup\overline{B})=0.83$ .

Calcula

$P(B)$

$P(B/A)$

$P(\overline{B}/A)$

$P(A-B)$

$P(\bar{A}\cup B)$

¿Son independientes $A$ y $B$ ?. Razona la respuesta.

y la correspondiente

Solución

$A$ $B$ $A\cap B$ $A\cup B$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow \\ P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)$

solo falta tener en cuenta una de las Leyes de De Morgan para calcular $P(A\cap B)$

$\bar{A}$ $\bar{B}$ $A\cap B$ $\bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}$

$P(\bar{A}\cup\bar{B})=P(\overline{A\cap B})=0.83\,\Rightarrow P(A\cap B)=1-P(\overline{A\cap B})=\\=1-0.83=0.17$ .

Por tanto:

$P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)=0.73-0.63+0.17=\\=0.27$

$P(B/A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{0.17}{0.63}=0.27=P(B)$ así ya tendríamos que son independientes.

$P(\overline{B}/A)=1-P(B/A)=1-0.27=0.73$

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=0.63-0.17=0.46$

$A$ $B$ $A\cap B$ $A-B=\\A-(A\cap B)$

$P(\bar{A}\cup B)=P(\bar{A})+P(B)-P(\bar{A}\cap B)$

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0.63=0.37$

$\bar{A}$ $B$ $A\cap B$ $\bar{A}\cap B=\\B -A=\\B-(A\cap B)$

$P(\bar{A}\cap B)=P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=\\=0.27-0.17=0.1$

$P(\bar{A}\cup B)=P(\bar{A})+P(B)-P(\bar{A}\cap B)=\\=0.37+0.27-0.1=0.54$

También se puede hacer con: $P(\bar{A}\cup B)=P(\overline{A-B})=1-P(A-B)=1-0.46=0.54$

$\bar{A}$ $B$ $A-B$ $\bar{ A}\cup B$ = $\overline{A-B}$

Como $P(A)\cdot P(B)=0.63\cdot0.27=0.17=0.17=P(A\cap B)\Rightarrow$ Son independientes.

Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.

$\bar{A}$	$\bar{B}$	$A\cap B$	$\bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}$