Potencia n-ésima de una matriz particular, inversa y ecuación matricial con LyX 2.4

Paco Villegas |

Al ver uno de los ejercicios de selectividad de este año se me ha ocurrido una variante del mismo que supongo que no será original, pero como me ha gustado la comparto en este artículo. Se trata de hallar la potencia n-ésima de una matriz muy particular y de su inversa y aprovechar ésta última para resolver una ecuación matricial. Solo he usado un poco de la librería sympy para hacer algunas operaciones. Además, a partir de este artículo, los ficheros fuente de LyX los pondré todos con la versión 2.4.0. En consecuencia, para poder abrir de forma adecuada el fichero fuente se tiene que tener instalada esa versión (se instala por defecto en la última versión de Ubuntu, la 24.04)

El código usado para ello es:

n,k = symbols('n, k', real=True)

I = eye(3)
B = Matrix([[0, 1/k, 1/k], [0, 0, 0], [0, 0, 0]])
A = I+B

El enunciado y la correspondiente solución del ejercicio es:

Ejercicio

Considera la matriz \(A=\mathchoice{\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}\)

  1. Calcula \(A^{n}\)
  2. Calcula \(\left(A^{-1}\right)^{n}\)
  3. Resuelve la ecuación \(A^{3}\cdot X\cdot A+I=O\) donde \(I\) y \(O\) son la matriz identidad y la matriz nula de orden \(3\), respectivamente.

Solución

  1. Podemos hacer este apartado haciendo \(A^{2},\)\(A^{3}\), \(A^{4}\) e intentar obtener la relación que nos permite inferir el valor de \(A^{n}\) o bien observar que:

    \(A=\mathchoice{\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}=\mathchoice{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}+\mathchoice{\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}=I+B\)

    \(A^{2}=(I+B)^{2}=(I+B)\cdot(I+B)=I^{2}+2\cdot B+B^{2}\)

    \(B^{2}=\mathchoice{\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}\cdot\mathchoice{\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}=\mathchoice{\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}\Rightarrow B^{n}=0\,\,\,si\,\,\,n\geq2\)

    Por tanto:

    \(A^{2}=I+2\cdot B\)

    \(A^{3}=(I+B)\cdot(I+2\cdot B)=I+B+2\cdot B+2\cdot B^{2}=I+3\cdot B\)

    Veamos que \(A^{n}=I+n\cdot B=\mathchoice{\begin{pmatrix}1 & \frac{n}{k} & \frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{n}{k} & \frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{n}{k} & \frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & \frac{n}{k} & \frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}\)

    Por inducción, ya hemos visto que es cierto para \(n=1\), supongamos que es cierto para \(n\) y comprobemos que es cierto para \(n+1\)

    \(A^{n+1}=A^{n}\cdot A=(I+n\cdot B)\cdot(I+B)=I+n\cdot B+B+n\cdot B^{2}=\\=I+(n+1)\cdot B\)

    Por tanto podemos concluir que \(A^{n}=I+n\cdot B\,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\)

  2. De lo anterior podemos pensar que \(\left(A^{-1}\right)^{n}=I-n\cdot B\). Veámoslo:

    • \(n=\)1

      \(A\cdot(I-B)=(I+B)\cdot(I-B)=(I-B)\cdot(I+B)=I^{2}-B^{2}=\\=I\Rightarrow A^{-1}=I-B\)

    • Supongamos que es cierto para \(n\) y comprobemos que es cierto para \(n+1\)

      \(\left(A^{-1}\right)^{n+1}=\left(A^{-1}\right)^{n}\cdot A^{-1}=\\=(I-n\cdot B)\cdot(I-B)=I-n\cdot B-B+n\cdot B^{2}=I-(n+1)\cdot B\)

    Por tanto tenemos que \(\left(A^{-1}\right)^{n}=I-n\cdot B=\mathchoice{\begin{pmatrix}1 & -\frac{n}{k} & -\frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}1 & -\frac{n}{k} & -\frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & -\frac{n}{k} & -\frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & -\frac{n}{k} & -\frac{n}{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}\,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\)

  3. \(A^{3}\cdot X\cdot A+I=O\Rightarrow A^{3}\cdot X\cdot A=-I\,\Rightarrow X=\left(A^{-1}\right)^{3}\cdot(-I)\cdot A^{-1}\\=-\left(A^{-1}\right)^{4}=-(I-4\cdot B)=-(\mathchoice{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}-4\cdot\mathchoice{\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{1}{k} & \frac{1}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)})=\\=-(\mathchoice{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)}-\mathchoice{\begin{pmatrix}0 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}0 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)})=\mathchoice{\begin{pmatrix}-1 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}{\left(\begin{smallmatrix}-1 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}-1 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)}{\left(\begin{smallmatrix}-1 & \frac{4}{k} & \frac{4}{k}\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)}\)

Enlaces al fichero fuente y al pdf final de una posible compilación.