Coordenadas del 4 punto de un paralelogramo, ecuación de la recta perpendicular al plano y área de un triángulo

Uno de los ejercicios del modelo de prueba para este curso escolar en Andalucía del selectividad de 2º de bachillerato de ciencias consiste en hallar las coordenadas del 4 vértice conociendo tres vértices consecutivos de un paralelogramo. En este artículo se realiza un problema de ese tipo. Para resolverlo, como en artículos anteriores sobre geometría en $\mathbb{R}^{3}$, se hace uso del módulo Geometry de sympy. Además, para realizar los gráficos se hace uso de la librería tikz de LaTeX y de la librería Sympy Plotting Backends’s para representar el gráfico en el espacio. El que nos aparezca este último gráfico es opcional.

El fichero LyX/pythontex permite que se pongan los datos de forma manual, a partir de los tres puntos consecutivos que determinan el paralelogramo y el punto $P$ para hallar la recta perpendicular al plano que contiene al paralelogramo o bien que él solo genere los valores de forma aleatoria.

El código usado para ello es:

# Podemos trabajar con dos opciones:
# m --> Datos manuales.
# a --> Datos aleatorios a partir de puntos (con coordenadas enteras) del espacio.
# Si no ponemos que opción es "m" siempre se hace con datos aleatorios.
opcion = 'm'

# Puntos consecutivos ABC que definen el paralelogramo ABCD
A = Point3D(-1,2,3)
B = Point3D(-2,1,0)
C = Point3D(0,5,1)
# Otros ejemplos
# A,B,C=Point3D(-1, 6, -3), Point3D(4, 10, 0), Point3D(-9, -1, -8)
# A,B,C=Point3D(1, -1, 0), Point3D(2, 1, -1), Point3D(-1, 1, 2)

# Punto para hallar la ecuacion de la recta
P = Point3D(0,0,0)

# Parar determinar si queremos que se muestre el gráfico del paralelograma
# en el espacio. Si no ponemos 'Sí', no se muestra.
# Se hace uso de la librería  Sympy Plotting Backends’s
grafico = 'Sí'

# Valores mínimos y máximos para las coordenadas aleatorias enteras de los puntos.
vm = -10
vM = 10

De él solo debemos cambiar los 3 puntos iniciales ($A$, $B$, y $C$) y el punto $P$ de la recta si se opta por ponerlos a mano o los valores mínimo y máximo entre los que obtener los puntos de inicio del problema.

A partir de unos valores de entrada obtenidos de forma aleatoria, un problema que se puede obtener es:

1. Halla las coordenadas del punto $D$.
2. Calcula la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto de coordenadas $P\left(-9,\ -5,\ 10\right)$  y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $A$ , $B$ y $C$.
3. Calcular el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.

Solución

1. Como es un paralelogramo: $\begin{cases} \overrightarrow{$AB}= & \overrightarrow{DC}\\ \overrightarrow{AD}= & \overrightarrow{BC} \end{cases}.

   A partir de cualquiera de las igualdades anteriores tenemos que:

   $$\left.\begin{array}{c} A\left(-3,\ 5,\ 9\right)\\ B\left(-6,\ 6,\ 7\right)\\ C\left(-1,\ -6,\ -9\right)\,\\ D\left(x,\ y,\ z\right) \end{array}\right\} \Rightarrow\left.\begin{array}{c} \overrightarrow{$$AB}=\left(-6,\ 6,\ 7\right)-\left(-3,\ 5,\ 9\right)=\left(-3,\ 1,\ -2\right)\\ \overrightarrow{DC}=\left(x,\ y,\ z\right)-\left(-1,\ -6,\ -9\right)=\left(-x-1,\ -y-6,\ -z-9\right) \end{array}\right\} \Rightarrow$$\left(-x-1,\ -y-6,\ -z-9\right)=\left(-3,\ 1,\ -2\right)\Rightarrow\begin{cases} -x-1$$& =-3\\ -y-6 & =1\\ -z-9 & =-2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x & =2\\ y & =-7\Rightarrow D\left(2,\ -7,\ -7\right)\\ z & =-7 \end{cases}

2. Se puede hacer de varias formas. Una de ellas es teniendo en cuenta que si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a los puntos $A,\,B$ y $C$, el vector normal al plano es el vector director de la recta. Dos posibles vectores directores del plano son los vectores de coordenadas:

   $$\left.\begin{array}{c} \overrightarrow{u}=\overrightarrow{$$AB}=\left(-6,\ 6,\ 7\right)-\left(-3,\ 5,\ 9\right)=\left(-3,\ 1,\ -2\right)\\ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}=\left(-1,\ -6,\ -9\right)-\left(-3,\ 5,\ 9\right)=\left(2,\ -11,\ -18\right) \end{array}\right\}

   por tanto $\overrightarrow{n}_{\pi}=\overrightarrow{u}_{r}=\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left(\left|\begin{array}{cc} 1$& -2\\ -11 & -18 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{cc} -3 & -2\\ 2 & -18 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} -3 & 1\\ 2 & -11 \end{array}\right|\right)=\left(-40,\ -58,\ 31\right)

   En consecuencia, de la recta $r$ conocemos $\begin{cases} P_{r}$& \left(-9,\ -5,\ 10\right)\in r\\ \overrightarrow{u}_{r} & \left(-40,\ -58,\ 31\right) \end{cases}\Rightarrow su ecuación vectorial es

   $$r\equiv\left(x,\ y,\ z\right)=\left(-9,\ -5,\ 10\right)+t\cdot\left(-40,\ -58,\ 31\right)$$

3. El área pedida se puede obtener con $\acute{A}rea\,\,=\,\dfrac{\left|\overrightarrow{$AB}\times\overrightarrow{AC}\right|}{2}

   $$\overrightarrow{$$AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(\left|\begin{array}{cc} 1 & -2\\ -11 & -18 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{cc} -3 & -2\\ 2 & -18 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} -3 & 1\\ 2 & -11 \end{array}\right|\right)=\left(-40,\ -58,\ 31\right)$$\acute{A}rea\,\,=\,\dfrac{\left|\overrightarrow{$$AB}\times\overrightarrow{AC}\right|}{2}=\dfrac{\left|\left(-40,\ -58,\ 31\right)\right|}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(-40\right)^{2}+\left(-58\right)^{2}+\left(31\right)^{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{5925}}{2}=\frac{5\sqrt{237}}{2}

Enlaces al fichero fuente y al pdf final de una posible compilación.

• Fichero en formato LyX con el código python necesario para hacerlo.
• Fichero en formato pdf que se obtiene como resultado de compilar el fichero anterior.