Voy a usar un par de módulos de Sympy Gamma para poder crear ejercicios, en formato pdf, que obtengan la derivada paso a paso de una lista de funciones. Mi trabajo con ellos solo ha consistido en traducir los textos al castellano. Además de los módulos anteriores hago uso de sympy y de un poco de código python propio que permite derivar una lista de funciones pasadas como argumento.
Para poder compilar el fichero LyX/pythontex es necesario que en nuestro ordenador:
Descarguemos los scripts:
Además hay que ajustar la ruta del fichero LyX, que se puede descargar al final del artículo, a aquella en que hayamos puesto los scripts anteriores.
# Hay que ajustar esta ruta al lugar en donde tengamos los dos scripts de python # que hemos descargado de la web: diffsteps.py y stepprinter.py sys.path.append( r'/ruta_scripts_anteriores')Tengamos instalado el módulo pypandoc. Si trabajamos con Ubuntu se puede conseguir instalando el paquete python3-pypandoc. Con este módulo pasamos a LaTeX el resultado obtenido en html de los scripts anteriores.
Para crear diferentes ejercicios de derivadas solo hay que definir una lista de funciones de entrada:
# No está preparado para logaritmos no neperianos
# si escribimos log es un logaritmo neperiano
# Funciones que vamos a derivar (tupla)
funciones = (sin(x**2), exp(x) / (x + 1)**2, log(cos(x))
* sqrt(x), log(sqrt((1 + x) / (1 - x))))
Podemos modificar esa lista de funciones a nuestro gusto. Con los datos de entrada anteriores se obtiene de enunciado
Ejercicio
Calcula la derivada de:
- \(f_{1}(x)=\sin{\left(x^{2}\right)}\)
- \(f_{2}(x)=\frac{e^{x}}{\left(x+1\right)^{2}}\)
- \(f_{3}(x)=\sqrt{x}\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}\)
- \(f_{4}(x)=\ln{\left(\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\right)}\)
y la correspondiente
Solución
\(f_{1}(x)=\sin{\left(x^{2}\right)}\)
Sea \(u=x^{2}\).
La derivada del seno es el coseno:
\begin{equation*} \frac{d}{du}\sin{\left(u\right)}=\cos{\left(u\right)} \end{equation*}Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por \(\frac{d}{dx}x^{2}\):
- Aplicar la regla de la potencia: \(x^{2}\) tiene de derivada \(2x\)
El resultado de la regla de la cadena es:
\begin{equation*} 2x\cos{\left(x^{2}\right)} \end{equation*}La derivada es:
\begin{equation*} 2x\cos{\left(x^{2}\right)} \end{equation*}\(f_{2}(x)=\frac{e^{x}}{\left(x+1\right)^{2}}\)
Aplicar la regla del cociente, que es:
\begin{equation*} \frac{d}{dx}\frac{f{\left(x\right)}}{g{\left(x\right)}}=\frac{-f{\left(x\right)}\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}+g{\left(x\right)}\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}}{g^{2}{\left(x\right)}} \end{equation*}\(f{\left(x\right)}=e^{x}\) y \(g{\left(x\right)}=\left(x+1\right)^{2}\).
Calculemos \(\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}\):
- La derivada de \(e^{x}\) es ella misma.
Calculemos \(\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}\):
Sea \(u=x+1\).
Aplicar la regla de la potencia: \(u^{2}\) tiene de derivada \(2u\)
Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por \(\frac{d}{dx}\left(x+1\right)\):
Derivando \(x+1\) termino a termino:
- La derivada de una constante \(1\) es cero.
- Aplicar la regla de la potencia: \(x\) tiene de derivada \(1\)
El resultado es: \(1\)
El resultado de la regla de la cadena es:
\begin{equation*} 2x+2 \end{equation*}Ahora aplíquese a la regla del cociente:
\(\frac{\left(x+1\right)^{2}e^{x}-\left(2x+2\right)e^{x}}{\left(x+1\right)^{4}}\)
Ahora simplifica:
\begin{equation*} \frac{\left(-2x+\left(x+1\right)^{2}-2\right)e^{x}}{\left(x+1\right)^{4}} \end{equation*}La derivada es:
\begin{equation*} \frac{\left(-2x+\left(x+1\right)^{2}-2\right)e^{x}}{\left(x+1\right)^{4}} \end{equation*}\(f_{3}(x)=\sqrt{x}\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}\)
Aplicar la regla del producto:
\begin{equation*} \frac{d}{dx}f{\left(x\right)}g{\left(x\right)}=f{\left(x\right)}\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}+g{\left(x\right)}\frac{d}{dx}f{\left(x\right)} \end{equation*}\(f{\left(x\right)}=\sqrt{x}\); para hallar \(\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}\):
- Aplicar la regla de la potencia: \(\sqrt{x}\) tiene de derivada \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(g{\left(x\right)}=\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}\); para hallar \(\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}\):
Sea \(u=\cos{\left(x\right)}\).
La derivada de \(\ln{\left(u\right)}\) es \(\frac{1}{u}\).
Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por \(\frac{d}{dx}\cos{\left(x\right)}\):
La derivada del coseno es el seno negativo:
\begin{equation*} \frac{d}{dx}\cos{\left(x\right)}=-\sin{\left(x\right)} \end{equation*}El resultado de la regla de la cadena es:
\begin{equation*} -\frac{\sin{\left(x\right)}}{\cos{\left(x\right)}} \end{equation*}El resultado es: \(-\frac{\sqrt{x}\sin{\left(x\right)}}{\cos{\left(x\right)}}+\frac{\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}}{2\sqrt{x}}\)
Ahora simplifica:
\begin{equation*} \frac{-x\tan{\left(x\right)}+\frac{\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}}{2}}{\sqrt{x}} \end{equation*}La derivada es:
\begin{equation*} \frac{-x\tan{\left(x\right)}+\frac{\ln{\left(\cos{\left(x\right)}\right)}}{2}}{\sqrt{x}} \end{equation*}\(f_{4}(x)=\ln{\left(\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\right)}\)
Sea \(u=\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\).
La derivada de \(\ln{\left(u\right)}\) es \(\frac{1}{u}\).
Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por \(\frac{d}{dx}\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\):
Sea \(u=\frac{x+1}{1-x}\).
Aplicar la regla de la potencia: \(\sqrt{u}\) tiene de derivada \(\frac{1}{2\sqrt{u}}\)
Luego, aplica la regla de la cadena. Multiplicar por \(\frac{d}{dx}\frac{x+1}{1-x}\):
Aplicar la regla del cociente, que es:
\begin{equation*} \frac{d}{dx}\frac{f{\left(x\right)}}{g{\left(x\right)}}=\frac{-f{\left(x\right)}\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}+g{\left(x\right)}\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}}{g^{2}{\left(x\right)}} \end{equation*}\(f{\left(x\right)}=x+1\) y \(g{\left(x\right)}=1-x\).
Calculemos \(\frac{d}{dx}f{\left(x\right)}\):
Derivando \(x+1\) termino a termino:
- La derivada de una constante \(1\) es cero.
- Aplicar la regla de la potencia: \(x\) tiene de derivada \(1\)
El resultado es: \(1\)
Calculemos \(\frac{d}{dx}g{\left(x\right)}\):
Derivando \(1-x\) termino a termino:
La derivada de una constante \(1\) es cero.
La derivada de una constante por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.
- Aplicar la regla de la potencia: \(x\) tiene de derivada \(1\)
Entonces, el resultado es: \(-1\)
El resultado es: \(-1\)
Ahora aplíquese a la regla del cociente:
\(\frac{2}{\left(1-x\right)^{2}}\)
El resultado de la regla de la cadena es:
\begin{equation*} \frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\left(1-x\right)^{2}} \end{equation*}El resultado de la regla de la cadena es:
\begin{equation*} \frac{\left(1-x\right)\frac{1}{x+1}}{\left(1-x\right)^{2}} \end{equation*}Ahora simplifica:
\begin{equation*} -\frac{1}{x^{2}-1} \end{equation*}La derivada es:
\begin{equation*} -\frac{1}{x^{2}-1} \end{equation*}
Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.