Continúo con la dinámica del artículo anterior, pero en este caso se trata de calcular integrales indicando los pasos seguidos para ello. De nuevo usaré un par de módulos de Sympy Gamma para poder crear ejercicios, en formato pdf, que obtengan la integral indefinida paso a paso de una función. En esta ocasión, además de traducir los textos al castellano he modificado una línea de uno de ellos ya que tal cual está no funciona de forma adecuada para algunos tipos de integrales (por ejemplo, algunas racionales) y además he modificado la forma de mostrar la constante de integración. También uso sympy y de un poco de código python propio.
Un par de comentarios, el primero muy importante:
El fichero intsteps.py usado se ha creado para que la versión instalada de sympy sea la 1.6.2 y no funciona nunca si trabajamos con la última versión existente (la 1.12). En el caso de tener instalada sympy 1.12, para poder compilar el fichero LyX facilitado debemos instalar una versión anterior de sympy, por ejemplo (si usamos pip) con:
pip install sympy==1.6.2 --user --break-system-packages
Se puede probar con otras versiones y en bastantes integrales funciona bien hasta la versión 1.11.1 de sympy, pero en otras ocasiones puede dar error. Por ejemplo, la integral \(\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x}-1}\textrm{dx}\) no se puede calcular con este script con la versión 1.11.1 de sympy pero sí con la 1.10.
Comentar también que hay integrales que no es capaz de resolver aunque si las obtenemos de forma directa si se calculan con sympy, por ejemplo \(\int\dfrac{\textrm{dx}}{x^{2}\cdot\sqrt{1-x^{2}}}\)
Cuando nos aparezca \(\log\) en el enunciado/solución debemos entender que se trata del \(\ln\)
Para poder compilar el fichero LyX/pythontex es necesario que en nuestro ordenador:
Descarguemos los scripts:
Además hay que ajustar la ruta del fichero LyX, que se puede descargar al final del artículo, a aquella en que hayamos puesto los scripts anteriores.
# Hay que ajustar esta ruta al lugar en donde tengamos los dos scripts de python # que hemos descargado de la web: intsteps.py y stepprinter.py sys.path.append( r'/ruta_scripts_anteriores')Tengamos instalado el módulo pypandoc. Si trabajamos con Ubuntu se puede conseguir instalando el paquete python3-pypandoc. Con este módulo pasamos a LaTeX el resultado obtenido en html de los scripts anteriores.
Para crear diferentes ejercicios de integración solo hay que definir la función a la que calcular la integral:
# Función a la que calcularemos la integral indefinida #funcion = log((x**2+1)/x) funcion = 1/(exp(2*x)-3*exp(x)) #funcion = 1/(sqrt(1+x)-1) #funcion = x*((x-1)**2) #funcion = (x**4+1)/(x**2-1) #funcion = x**2+1 #funcion = log(x)*exp(x) #funcion = (x**2+4)/(x**2-1) #funcion = (x**2-4)/(x**2-1) #funcion = exp(x)*cos(x) #funcion = x**2*log(x) #funcion = x*exp(x)
Es fácil modificar el código pyhon para que se pueda integrar una lista de funciones, para ello se puede consultar el artículo anterior sobre Cálculo de derivadas paso a paso.
Con los datos de entrada anteriores se obtiene de enunciado
Ejercicio
Calcule \(\int\frac{1}{e^{2x}-3e^{x}}\,dx\)
y la correspondiente
Solución
Sea \(u=e^{x}\).
Luego tome \(du=e^{x}dx\) y sustituya \(du\):
\begin{equation*} \int\frac{1}{u^{3}-3u^{2}}\,du \end{equation*}
Reescribe el integrando:
\begin{equation*} \frac{1}{u^{3}-3u^{2}}=\frac{1}{9\left(u-3\right)}-\frac{1}{9u}-\frac{1}{3u^{2}} \end{equation*}Integrar término a término:
La integral de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la integral de la función:
\begin{equation*} \int\frac{1}{9\left(u-3\right)}\,du=\frac{\int\frac{1}{u-3}\,du}{9} \end{equation*}
Sea \(u=u-3\).
Luego tome \(du=du\) y sustituya \(du\):
\begin{equation*} \int\frac{1}{u}\,du \end{equation*}
- La integral de \(\frac{1}{u}\) es \(\log{\left(u\right)}\).
Ahora sustituya \(u\) nuevamente:
\begin{equation*} \log{\left(u-3\right)} \end{equation*}Entonces, el resultado es: \(\frac{\log{\left(u-3\right)}}{9}\)
La integral de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la integral de la función:
\begin{equation*} \int\left(-\frac{1}{9u}\right)\,du=-\frac{\int\frac{1}{u}\,du}{9} \end{equation*}
La integral de \(\frac{1}{u}\) es \(\log{\left(u\right)}\).
Entonces, el resultado es: \(-\frac{\log{\left(u\right)}}{9}\)
La integral de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la integral de la función:
\begin{equation*} \int\left(-\frac{1}{3u^{2}}\right)\,du=-\frac{\int\frac{1}{u^{2}}\,du}{3} \end{equation*}
La integral de \(u^{n}\) es \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\) cuando \(n\neq-1\):
\begin{equation*} \int\frac{1}{u^{2}}\,du=-\frac{1}{u} \end{equation*}Entonces, el resultado es: \(\frac{1}{3u}\)
El resultado es: \(-\frac{\log{\left(u\right)}}{9}+\frac{\log{\left(u-3\right)}}{9}+\frac{1}{3u}\)
Ahora sustituya \(u\) nuevamente:
\begin{equation*} \frac{\log{\left(e^{x}-3\right)}}{9}-\frac{\log{\left(e^{x}\right)}}{9}+\frac{e^{-x}}{3} \end{equation*}Ahora simplifica:
\begin{equation*} \frac{\left(\left(\log{\left(e^{x}-3\right)}-\log{\left(e^{x}\right)}\right)e^{x}+3\right)e^{-x}}{9} \end{equation*}Sumar la constante de integración:
\begin{equation*} \frac{\left(\left(\log{\left(e^{x}-3\right)}-\log{\left(e^{x}\right)}\right)e^{x}+3\right)e^{-x}}{9}+\mathrm{C} \end{equation*}La respuesta es:
\begin{equation*} \frac{\left(\left(\log{\left(e^{x}-3\right)}-\log{\left(e^{x}\right)}\right)e^{x}+3\right)e^{-x}}{9}+\mathrm{C} \end{equation*}
Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.