Cálculo de límites usando la Regla de l’Hôpital (para algunas indeterminaciones)

Paco Villegas |

Se muestra la forma de poder hacer ejercicios resueltos usando la Regla de l’Hôpital en casos sencillos (sin tener que hacer transformaciones añadidas). Para realizar el ejercicio se ha usado un poco de POO y de funciones recursivas en python. Para calcular las derivadas y límites uso sympy.

Antes de mostrar el tipo de ejercicios que se pueden resolver con el fichero LyX/pythontex que se puede descargar al final de artículo, un <<par>> de comentarios:

  • El código creado solo permite resolver indeterminaciones del tipo \(\dfrac{0}{0}\) o \(\dfrac{\infty}{\infty}\) no muy complejas o que no necesiten de transformaciones intermedias específicas. Para eso se tiene que pasar como argumento el numerador y denominador de la función.
  • Se simplifica de forma diferente el caso \(\dfrac{\infty}{\infty}\) del tipo \(\dfrac{0}{0}\), en este segundo caso no se hace ninguna simplificación intermedia tras calcular las derivadas del numerador y del denominador. Dependiendo de la función a la que se quiera obtener el límite puede que interesa simplificar o no. Pero es algo que en su caso de tendrá que ver y optar por ponerlo de forma manual para ese caso en concreto.
  • No puedo garantizar que se obtenga la solución para todas las funciones.

Para crear diferentes ejercicios de cálculo de límites solo hay que definir las funciones a las que calcular el límite. Las funciones, se definen a partir de (punto, dirección, numerador, denominador). En el fichero de ejemplo se definen 10 funciones a las que calculará el límite, se pueden modificar (tanto las funciones como su número) y se obtendrían ejercicios diferentes ya resueltos:

# Funciones, se definen con (punto, dirección, numerador, denominador)
# f = Funcion(pto,dir,n,d)
# si el límite es oo o -oo, dir se debe dejar vacío.
# Si usamos +- no pondrá nada
f1 = Funcion(1, '+-', 1-cos(2*pi*x), (x-1)**2)
f2 = Funcion(0, '+-', exp(x) - exp(-x) - 2 * x, x - sin(x))
f3 = Funcion(oo, '', x, (log(x))**3 + 2 * x)
f4 = Funcion(0, '+-', exp(x) - exp(-x), sin(x))
f5 = Funcion(0, '+-', log(1+x)-sin(x) , x*sin(x))
f6 = Funcion(0, '+-', sin(x) - x, x * sin(x))
f7 = Funcion(pi / 4, '+-', tan(x) - 1, cos(2 * x))
f8 = Funcion(0, '+', exp(1 / x), log(x))
f9 = Funcion(0, '+-', exp(x) - exp(sin(x)), x**3)
f10 = Funcion(0, '+-', cos(x) - exp(-2 * x) - 2 * x, (sin(x))**2)

Con los datos de entrada anteriores se obtiene de enunciado (no mantiene el orden en que se han introducido anteriormente)

Ejercicio

Calcule

  1. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-2x+e^{x}-e^{-x}}{x-\sin{\left(x\right)}}\right)\)
  2. \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{2x+\log{\left(x\right)}^{3}}\right)\)
  3. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin{\left(x\right)}}\right)\)
  4. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\log{\left(x+1\right)}-\sin{\left(x\right)}}{x\sin{\left(x\right)}}\right)\)
  5. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-x+\sin{\left(x\right)}}{x\sin{\left(x\right)}}\right)\)
  6. \(\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan{\left(x\right)}-1}{\cos{\left(2x\right)}}\right)\)
  7. \(\lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\log{\left(x\right)}}\right)\)
  8. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{\sin{\left(x\right)}}}{x^{3}}\right)\)
  9. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-2x+\cos{\left(x\right)}-e^{-2x}}{\sin^{2}{\left(x\right)}}\right)\)
  10. \(\lim_{x\to1}\left(\frac{1-\cos{\left(2\pi x\right)}}{\left(x-1\right)^{2}}\right)\)

y la correspondiente

Solución

  1. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-2x+e^{x}-e^{-x}}{x-\sin{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-2+e^{-x}}{1-\cos{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{\cos{\left(x\right)}}\right)=\) \(2\)
  2. \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{2x+\log{\left(x\right)}^{3}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2+\frac{3\log{\left(x\right)}^{2}}{x}}=\) \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{2x+3\log{\left(x\right)}^{2}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2+\frac{6\log{\left(x\right)}}{x}}=\) \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{2x+6\log{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2+\frac{6}{x}}=\) \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{2x+6}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2}=\) \(\frac{1}{2}\)
  3. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{\cos{\left(x\right)}}\right)=\) \(2\)
  4. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\log{\left(x+1\right)}-\sin{\left(x\right)}}{x\sin{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-\cos{\left(x\right)}+\frac{1}{x+1}}{x\cos{\left(x\right)}+\sin{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin{\left(x\right)}-\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}}}{-x\sin{\left(x\right)}+2\cos{\left(x\right)}}\right)=\) \(-\frac{1}{2}\)
  5. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-x+\sin{\left(x\right)}}{x\sin{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos{\left(x\right)}-1}{x\cos{\left(x\right)}+\sin{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(-\frac{\sin{\left(x\right)}}{-x\sin{\left(x\right)}+2\cos{\left(x\right)}}\right)=\) \(0\)
  6. \(\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan{\left(x\right)}-1}{\cos{\left(2x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\frac{-\tan^{2}{\left(x\right)}-1}{2\sin{\left(2x\right)}}\right)=\) \(-1\)
  7. \(\lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\log{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0^{+}}\left(-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}\right)=\) \(\lim_{x\to0^{+}}\left(-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}\right)=\) \(-\infty\)
  8. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{\sin{\left(x\right)}}}{x^{3}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{\sin{\left(x\right)}}\cos{\left(x\right)}}{3x^{2}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}+e^{\sin{\left(x\right)}}\sin{\left(x\right)}-e^{\sin{\left(x\right)}}\cos^{2}{\left(x\right)}}{6x}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}}{6}+\frac{e^{\sin{\left(x\right)}}\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}}{2}-\frac{e^{\sin{\left(x\right)}}\cos^{3}{\left(x\right)}}{6}+\frac{e^{\sin{\left(x\right)}}\cos{\left(x\right)}}{6}\right)=\) \(\frac{1}{6}\)
  9. \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-2x+\cos{\left(x\right)}-e^{-2x}}{\sin^{2}{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-\sin{\left(x\right)}-2+2e^{-2x}}{2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to0}\left(\frac{-\cos{\left(x\right)}-4e^{-2x}}{-2\sin^{2}{\left(x\right)}+2\cos^{2}{\left(x\right)}}\right)=\) \(-\frac{5}{2}\)
  10. \(\lim_{x\to1}\left(\frac{1-\cos{\left(2\pi x\right)}}{\left(x-1\right)^{2}}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to1}\left(\frac{2\pi\sin{\left(2\pi x\right)}}{2x-2}\right)\) = Indt \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) L’Hôpital = \(\lim_{x\to1}\left(2\pi^{2}\cos{\left(2\pi x\right)}\right)=\) \(2\pi^{2}\)

Fichero fuente y el pdf final de una posible compilación con los datos de entrada anteriores.