Halla los puntos de una recta <em>r</em> cuya distancia a un plano es de <em>x</em> unidades

En este artículo resolveremos un problema de Geometría en el espacio como es el de obtener dos puntos de una recta que disten de un plano una determinada cantidad. Para resolverlo, como en artículos anteriores sobre geometría en $\mathbb{R}^{3}$ , se hace uso del módulo Geometry de sympy. El fichero LyX/pythontex permite que se pongan los datos de forma manual o bien que se generen los valores de forma aleatoria.

Para los puntos que determinan el plano y la recta $r$ podemos optar porque los valores se introduzcan <<a mano>> o que sean aleatorios:

# Podemos trabajar con dos opciones:
# m --> Datos manuales.
# a --> Datos aleatorios a partir de puntos (con coordenadas enteras) del espacio.
# Si no ponemos que opción es "m" siempre se hace con datos aleatorios.
opcion = 'a'

El código usado para ello es:

if opcion == 'm':
    # En este caso tenemos que garantizarnos que al introducir los tres puntos no están alineados.
    # puntos que definen el plano
    A = Point3D(-1, 0, 0)
    B = Point3D(0, 1, 1)
    C = Point3D(2, 1, 0)
    # Datos recta r: a partir de dos puntos.
    p1r = Point3D(3, 2, 0)
    p2r = Point3D(1, 1, -1)
else:
    # Datos aleatorios, me garantizo que los puntos A, B y C no estén alineados y que los dos
    # puntos que determinan la recta den como resultado tres vectores LI
    # Valores mínimos y máximos para las coordenadas aleatorias enteras de los
    # puntos.
    vm = -3
    vM = 4
    ...

Un posible enunciado del problema (obtenido de forma aleatoria) que vamos a resolver es:

Ejercicio

Considera el plano $\pi$ , determinado por los puntos $A\left(0,\ 1,\ 4\right)$ , $B\left(3,\ 4,\ 0\right)$ y $C\left(0,\ 4,\ -2\right)$ , y la recta

$r\equiv\begin{cases} x+3y-3$

Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $\pi$ es de $7$ unidades.

A partir de los valores de entrada anteriores (obtenidos de forma aleatoria), la solución del problema que se obtiene es:

Solución

Obtengamos los vectores directores del plano que pasa por $A,\,B$ y $C$ . Los vectores directores es mejor simplificarlos dividiéndolos por un factor común, lo mismo se debe hacer con el vector normal que se obtiene después

$\overrightarrow{$

$\overrightarrow{$

Podemos hacerlo obteniendo la ecuación la ecuación general a partir de:

$\left|\begin{matrix}x$ $=-2x+6y+3z-18=0$

O bien obtener un vector normal haciendo el producto vectorial de los dos vectores directores del plano y luego obtener la $D$ imponiendo que la ecuación obtenida pase por uno de los puntos.
$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left(\left|\begin{array}{cc} 3$ $\vec{n}_{\pi}\equiv\left(-2,\ 6,\ 3\right)$ $-2\cdot x+\left(6\right)\cdot y+\left(3\right)\cdot z+D=0\Rightarrow$ $\left(-2\right)\cdot\left(0\right)+\left(6\right)\cdot\left(1\right)+\left(3\right)\cdot\left(4\right)+D=0\Rightarrow$ $\left(0\right)+\left(6\right)+\left(12\right)+D=0\Rightarrow18+D=0\Rightarrow D=-18$

También podemos obtener de forma directa la ecuación a partir de que $D=\vec{n}_{\pi}\cdot\overrightarrow{$

En cualquier caso, se obtendría que la ecuación del plano ya simplificada es:

$\pi\equiv-2x+6y+3z-18=0$
Hallamos un punto genérico $P_{g}$ de la recta $r$ (que dependerá de su parámetro).

Podemos obtener la ecuación paramétrica de la recta de diferentes formas, en este caso hemos obtenido dos puntos de la recta de coordenadas
$P1=\left(0,\ 1,\ -3\right)\;P2=\left(3,\ 0,\ -2\right)\Rightarrow\vec{u}_{r}=\left(3,\ -1,\ 1\right)\Rightarrow$
una ecuación paramétrica de la recta $r$ es $\left\{ \begin{array}{ccc} x$ y obtenemos:
$P_{g}=\left(3t,\ 1-t,\ t-3\right)$
Por tanto:
$d(\pi,P_{g})=\dfrac{\left|\left(-2\right)\cdot\left(3t\right)+\left(6\right)\cdot\left(1-t\right)+\left(3\right)\cdot\left(t-3\right)+\left(-18\right)\right|}{\sqrt{\left(-2\right)^{2}+\left(6\right)^{2}+\left(3\right)^{2}}}=\dfrac{\left|{9t+21}\right|}{7}=7\Rightarrow$ $\begin{cases} -9t-21$
Si sustituimos los valores anteriores en el punto genérico de la recta $r$ obtenemos que los dos puntos a la distancia pedida son:

$P\left(-\frac{70}{3},\ \frac{79}{9},\ -\frac{97}{9}\right)$ y $Q\left(\frac{28}{3},\ -\frac{19}{9},\ \frac{1}{9}\right)$

Enlaces al fichero fuente y al pdf final de una posible compilación.