Ejercicios sobre el estudio de la posición relativa de tres planos en el espacio usando el método de Gauss

Paco Villegas |

En este artículo facilito un fichero que permite generar cualquier número de ejercicios sobre el estudio de la posición relativa de tres planos en el espacio usando el método de Gauss. Además, si procede, se encuentran las coordenadas o ecuaciones paramétricas de la intersección. Los datos para resolver los problemas se obtienen de forma aleatoria y tenemos varios ejemplos en el código de fichero que nos pueden servir de ayuda para tener ideas de qué relación de ejercicios deseamos generar.

Casi todo el código esté en formato python/LaTeX y el uso de LyX es mínimo. Pero por mantener el mismo sistema de los ficheros de las entradas anteriores lo subo en formato LyX. Se usa la librería Sympy Plotting Backends’s para hacer una representación gráfica de los planos.

Lo único que tendremos que adecuar en el fichero es:

  • Valores mínimo y máximo entre los que obtener los valores de los coeficientes

    # Los coeficientes de los ejercicios se obtienen de forma aleatoria
# valores entre los que obtenerlos
minimo = -4
maximo = 4

  • Tipos de ejercicios que podemos obtener y número de ejercicios:

    # OPCIONES PERMITIDAS EN EL PROGRAMA

# Insertar gráficos. Si no se pone "si" (sin tilde) no se insertan ni se generan
# Insertar los gráficos puede relentizar bastante la compilación
graficos = 'si'

# Tipos de ejercicios
# tipo -> Cadena con los tipos permitidos siguientes
# SCD ->  Los planos se cortan en un punto  Rango(Mc) = Rango(Ma) = 3
# 11 -> Punto de corte con soluciones enteras (el determinante se obliga a que sea +-1).
# 12 -> Punto de corte con soluciones racionales
# SI Rango(Mc) = 2 y Rango(Ma) = 3
# 21 -> Los tres planos se cortan dos a dos en tres rectas formando un prisma
# 22 -> Dos planos son paralelos y el otro no
# SCI -> Los planos se cortan en una recta Rango(Mc) = Rango(Ma) = 2
# 31 -> Dos planos son iguales y el otro secante
# 32 -> Los tres planos se cortan en una recta
# SI Rango(Mc) = 1 y Rango(Ma) = 2
# 41 -> Los tres planos son paralelos
# 42 -> Dos planos son el mismo y otro paralelo a ellos
# SCI -> Los tres planos son el mismo Rango(Mc) = Rango(Ma) = 1
# 5 -> Tres planos coplanares

tipos = ['11', '12', '21', '22', '31', '32', '41', '42', '5']

# Forma de definir los ejercicios que queremos obtener a partir de los tipos anteriores
# listaejercicios=[tipo1, tipo2, ... ]

# Por ejemplo, con la lista siguiente se obtienen 8 ejercicios  de tipos especificados
# listaejercicios = ["11", '12', '21', '22', '11', '5', '41', '31']

# Si queremos una lista de ejercicios con uno de cada tipo
listaejercicios = [j for j in tipos]

# Dos de cada tipo. Hay que mantener descomentada la anterior
# listaejercicios = 2 * listaejercicios

# Si lo que queremos es 10 ejercicios de un tipo aleatorio
# listaejercicios = [j for j in random.choices(tipos, k=10)]

# O si lo que queremos es 10 ejercicios aleatorios pero más del tipo SCD
# Estos pesos suponen que la probabilidad de seleccionar el valor "11" es el triple
# a la probabilidad de seleccionar cualquier otro
# pesos = [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
# listaejercicios = [j for j in random.choices(tipos, pesos, k=10)]

    tal cuál está por defecto, obtenemos 9 ejercicios del tipo especificado en la variable listaejercicios. En este caso, uno de cada tipo.

Con esos valores, un posible resultado de la compilación es:

Posición relativa de tres planos en el espacio usando el método de Gauss

  1. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡x−2y+2z−1=0π2≡z+4=0π3≡−x+y−z+2=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & x-2y+2z-1=0\\ \pi_{2} & \equiv & z+4=0\\ \pi_{3} & \equiv & -x+y-z+2=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {x−2y+2z=1z=−4−x+y−z=−2\left\{ \begin{aligned}x-2y+2z & = & 1\\ z & = & -4\\ -x+y-z & = & -2 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (1−221001−4−11−1−2){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F1+F3}⟼(1−221001−40−11−1){F1⇆F1F2⇆F3F3⇆F2}⟼(1−2210−11−1001−4){F1⇆F1F2⇆−F2F3⇆F3}⟼(1−22101−11001−4){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(1−22101−11001−4)\left(\begin{matrix}1 & -2 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4\\ -1 & 1 & -1 & -2 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -2 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4\\ 0 & -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{3}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{2} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -2 & 2 & 1\\ 0 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -2 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -2 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=3 y Rango(Ma)=3 ⇒\Rightarrow Los planos se cortan en un punto

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {x−2y+2z=1y−z=1z=−4\left\{ \begin{aligned}x-2y+2z & = & 1\\ y-z & = & 1\\ z & = & -4 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    x:3,y:−3,z:−4{x:3,y:-3,z:-4}

    Tipo de sistema:

    Sistema compatible y determinado

  2. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡−x−4y−z=0π2≡−4x+3y−3z+1=0π3≡−2y+3z−1=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & -x-4y-z=0\\ \pi_{2} & \equiv & -4x+3y-3z+1=0\\ \pi_{3} & \equiv & -2y+3z-1=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {−x−4y−z=0−4x+3y−3z=−1−2y+3z=1\left\{ \begin{aligned}-x-4y-z & = & 0\\ -4x+3y-3z & = & -1\\ -2y+3z & = & 1 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (−1−4−10−43−3−10−231){F1⇆−F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(1410−43−3−10−231){F1⇆F1F2⇆4F1+F2F3⇆F3}⟼(14100191−10−231){F1⇆F1F2⇆F3F3⇆F2}⟼(14100−2310191−1){F1⇆F1F2⇆9F2+F3F3⇆F3}⟼(1410012880191−1){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆−19F2+F3}⟼(14100128800−531−153){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F39}⟼(14100128800−59−17)\left(\begin{matrix}-1 & -4 & -1 & 0\\ -4 & 3 & -3 & -1\\ 0 & -2 & 3 & 1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & -F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0\\ -4 & 3 & -3 & -1\\ 0 & -2 & 3 & 1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & 4F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & 19 & 1 & -1\\ 0 & -2 & 3 & 1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{3}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{2} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 19 & 1 & -1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & 9F_{2}+F_{3}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 28 & 8\\ 0 & 19 & 1 & -1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & -19F_{2}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 28 & 8\\ 0 & 0 & -531 & -153 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{9} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 28 & 8\\ 0 & 0 & -59 & -17 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=3 y Rango(Ma)=3 ⇒\Rightarrow Los planos se cortan en un punto

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {x+4y+z=0y+28z=8−59z=−17\left\{ \begin{aligned}x+4y+z & = & 0\\ y+28z & = & 8\\ -59z & = & -17 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    x:−1/59,y:−4/59,z:17/59{x:-1/59,y:-4/59,z:17/59}

    Tipo de sistema:

    Sistema compatible y determinado

  3. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡−3x−3y+4=0π2≡3x+2y−2=0π3≡−x+3y−2=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & -3x-3y+4=0\\ \pi_{2} & \equiv & 3x+2y-2=0\\ \pi_{3} & \equiv & -x+3y-2=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {−3x−3y=−43x+2y=2−x+3y=2\left\{ \begin{aligned}-3x-3y & = & -4\\ 3x+2y & = & 2\\ -x+3y & = & 2 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (−3−30−43202−1302){F1⇆F3F2⇆F2F3⇆F1}⟼(−13023202−3−30−4){F1⇆−F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(1−30−23202−3−30−4){F1⇆F1F2⇆−3F1+F2F3⇆3F1+F3}⟼(1−30−2011080−120−10){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F32}⟼(1−30−2011080−60−5){F1⇆F1F2⇆F3F3⇆F2}⟼(1−30−20−60−501108){F1⇆F1F2⇆−2F2−F3F3⇆F3}⟼(1−30−2010201108){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆−11F2+F3}⟼(1−30−20102000−14){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F314}⟼(1−30−20102000−1)\left(\begin{matrix}-3 & -3 & 0 & -4\\ 3 & 2 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 0 & 2 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{3}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{1} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}-1 & 3 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 0 & 2\\ -3 & -3 & 0 & -4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & -F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -3 & 0 & -2\\ 3 & 2 & 0 & 2\\ -3 & -3 & 0 & -4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -3F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & 3F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -3 & 0 & -2\\ 0 & 11 & 0 & 8\\ 0 & -12 & 0 & -10 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{2} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -3 & 0 & -2\\ 0 & 11 & 0 & 8\\ 0 & -6 & 0 & -5 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{3}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{2} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -3 & 0 & -2\\ 0 & -6 & 0 & -5\\ 0 & 11 & 0 & 8 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -2F_{2}-F_{3}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -3 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 11 & 0 & 8 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & -11F_{2}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -3 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{14} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -3 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=2 y Rango(Ma)=3 ⇒\Rightarrow Los tres planos se cortan dos a dos en tres rectas formando un prisma

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {x−3y=−2y=20=−1\left\{ \begin{aligned}x-3y & = & -2\\ y & = & 2\\ 0 & = & -1 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    No tieneNo\ tiene

    Tipo de sistema:

    Sistema incompatible, no tiene solución

  4. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡−x−4y+4z+3=0π2≡4x+y+3z−4=0π3≡4x+y+3z+1=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & -x-4y+4z+3=0\\ \pi_{2} & \equiv & 4x+y+3z-4=0\\ \pi_{3} & \equiv & 4x+y+3z+1=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {−x−4y+4z=−34x+y+3z=44x+y+3z=−1\left\{ \begin{aligned}-x-4y+4z & = & -3\\ 4x+y+3z & = & 4\\ 4x+y+3z & = & -1 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (−1−44−34134413−1){F1⇆−F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(14−434134413−1){F1⇆F1F2⇆−4F1+F2F3⇆−4F1+F3}⟼(14−430−1519−80−1519−13){F1⇆F1F2⇆−F2F3⇆F3}⟼(14−43015−1980−1519−13){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F2+F3}⟼(14−43015−198000−5){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F35}⟼(14−43015−198000−1)\left(\begin{matrix}-1 & -4 & 4 & -3\\ 4 & 1 & 3 & 4\\ 4 & 1 & 3 & -1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & -F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & -4 & 3\\ 4 & 1 & 3 & 4\\ 4 & 1 & 3 & -1 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -4F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & -4F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & -4 & 3\\ 0 & -15 & 19 & -8\\ 0 & -15 & 19 & -13 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & -4 & 3\\ 0 & 15 & -19 & 8\\ 0 & -15 & 19 & -13 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{2}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & -4 & 3\\ 0 & 15 & -19 & 8\\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{5} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & -4 & 3\\ 0 & 15 & -19 & 8\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=2 y Rango(Ma)=3 ⇒\Rightarrow Dos planos son paralelos y el otro no

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {x+4y−4z=315y−19z=80=−1\left\{ \begin{aligned}x+4y-4z & = & 3\\ 15y-19z & = & 8\\ 0 & = & -1 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    No tieneNo\ tiene

    Tipo de sistema:

    Sistema incompatible, no tiene solución

  5. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡−x−4y+4=0π2≡2x+2y+2=0π3≡x+4y−4=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & -x-4y+4=0\\ \pi_{2} & \equiv & 2x+2y+2=0\\ \pi_{3} & \equiv & x+4y-4=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {−x−4y=−42x+2y=−2x+4y=4\left\{ \begin{aligned}-x-4y & = & -4\\ 2x+2y & = & -2\\ x+4y & = & 4 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (−1−40−4220−21404){F1⇆F1F2⇆F22F3⇆F3}⟼(−1−40−4110−11404){F1⇆−F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(1404110−11404){F1⇆F1F2⇆−F1+F2F3⇆−F1+F3}⟼(14040−30−50000){F1⇆F1F2⇆−F2F3⇆F3}⟼(140403050000){F1⇆F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(140403050000)\left(\begin{matrix}-1 & -4 & 0 & -4\\ 2 & 2 & 0 & -2\\ 1 & 4 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & \frac{F_{2}}{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}-1 & -4 & 0 & -4\\ 1 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 4 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & -F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 0 & 4\\ 1 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 4 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & -F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 0 & 4\\ 0 & -3 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 0 & 4\\ 0 & 3 & 0 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 4 & 0 & 4\\ 0 & 3 & 0 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=2 y Rango(Ma)=2 ⇒\Rightarrow Dos planos son iguales y el otro secante. Se cortan en una recta

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {x+4y=43y=50=0\left\{ \begin{aligned}x+4y & = & 4\\ 3y & = & 5\\ 0 & = & 0 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    [xyz]=[−8353τ0]\left[\begin{matrix}x\\ y\\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\ \frac{5}{3}\\ \tau_{0} \end{matrix}\right]

    Tipo de sistema:

    Sistema compatible indeterminado

  6. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡x−2y−4z+1=0π2≡2x−4y−4z+2=0π3≡−2x+4y+z−2=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & x-2y-4z+1=0\\ \pi_{2} & \equiv & 2x-4y-4z+2=0\\ \pi_{3} & \equiv & -2x+4y+z-2=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {x−2y−4z=−12x−4y−4z=−2−2x+4y+z=2\left\{ \begin{aligned}x-2y-4z & = & -1\\ 2x-4y-4z & = & -2\\ -2x+4y+z & = & 2 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (1−2−4−12−4−4−2−2412){F1⇆F1F2⇆F22F3⇆F3}⟼(1−2−4−11−2−2−1−2412){F1⇆F1F2⇆−F1+F2F3⇆2F1+F3}⟼(1−2−4−1002000−70){F1⇆F1F2⇆F22F3⇆F37}⟼(1−2−4−1001000−10)\left(\begin{matrix}1 & -2 & -4 & -1\\ 2 & -4 & -4 & -2\\ -2 & 4 & 1 & 2 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & \frac{F_{2}}{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -2 & -4 & -1\\ 1 & -2 & -2 & -1\\ -2 & 4 & 1 & 2 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & 2F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -2 & -4 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -7 & 0 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & \frac{F_{2}}{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{7} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & -2 & -4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=2 y Rango(Ma)=2 ⇒\Rightarrow Los tres planos se cortan en una recta

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {x−2y−4z=−1z=0−z=0\left\{ \begin{aligned}x-2y-4z & = & -1\\ z & = & 0\\ -z & = & 0 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    [xyz]=[2τ0−1τ00]\left[\begin{matrix}x\\ y\\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2\tau_{0}-1\\ \tau_{0}\\ 0 \end{matrix}\right]

    Tipo de sistema:

    Sistema compatible indeterminado

  7. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡−3x−y+2z+4=0π2≡15x+5y−10z+2=0π3≡−12x−4y+8z+3=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & -3x-y+2z+4=0\\ \pi_{2} & \equiv & 15x+5y-10z+2=0\\ \pi_{3} & \equiv & -12x-4y+8z+3=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {−3x−y+2z=−415x+5y−10z=−2−12x−4y+8z=−3\left\{ \begin{aligned}-3x-y+2z & = & -4\\ 15x+5y-10z & = & -2\\ -12x-4y+8z & = & -3 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (−3−12−4155−10−2−12−48−3){F1⇆−F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(31−24155−10−2−12−48−3){F1⇆F1F2⇆−5F1+F2F3⇆4F1+F3}⟼(31−24000−2200013){F1⇆F1F2⇆F222F3⇆F313}⟼(31−24000−10001)\left(\begin{matrix}-3 & -1 & 2 & -4\\ 15 & 5 & -10 & -2\\ -12 & -4 & 8 & -3 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & -F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}3 & 1 & -2 & 4\\ 15 & 5 & -10 & -2\\ -12 & -4 & 8 & -3 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & -5F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & 4F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}3 & 1 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -22\\ 0 & 0 & 0 & 13 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & \frac{F_{2}}{22}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{13} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}3 & 1 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=1 y Rango(Ma)=2 ⇒\Rightarrow Los tres planos son paralelos

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {3x+y−2z=40=−10=1\left\{ \begin{aligned}3x+y-2z & = & 4\\ 0 & = & -1\\ 0 & = & 1 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    No tieneNo\ tiene

    Tipo de sistema:

    Sistema incompatible, no tiene solución

  8. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡−4x+2y−z+4=0π2≡−16x+8y−4z+8=0π3≡8x−4y+2z−4=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & -4x+2y-z+4=0\\ \pi_{2} & \equiv & -16x+8y-4z+8=0\\ \pi_{3} & \equiv & 8x-4y+2z-4=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {−4x+2y−z=−4−16x+8y−4z=−88x−4y+2z=4\left\{ \begin{aligned}-4x+2y-z & = & -4\\ -16x+8y-4z & = & -8\\ 8x-4y+2z & = & 4 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (−42−1−4−168−4−88−424){F1⇆F1F2⇆F24F3⇆F32}⟼(−42−1−4−42−1−24−212){F1⇆−F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(4−214−42−1−24−212){F1⇆F1F2⇆F1+F2F3⇆−F1+F3}⟼(4−2140002000−2){F1⇆F1F2⇆F22F3⇆F32}⟼(4−2140001000−1)\left(\begin{matrix}-4 & 2 & -1 & -4\\ -16 & 8 & -4 & -8\\ 8 & -4 & 2 & 4 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & \frac{F_{2}}{4}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{2} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}-4 & 2 & -1 & -4\\ -4 & 2 & -1 & -2\\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & -F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}4 & -2 & 1 & 4\\ -4 & 2 & -1 & -2\\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & -F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}4 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & \frac{F_{2}}{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{2} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}4 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=1 y Rango(Ma)=2 ⇒\Rightarrow Dos planos son el mismo y otro paralelo a ellos

    image

    Resolviendo el sistema escalonado {4x−2y+z=40=10=−1\left\{ \begin{aligned}4x-2y+z & = & 4\\ 0 & = & 1\\ 0 & = & -1 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    No tieneNo\ tiene

    Tipo de sistema:

    Sistema incompatible, no tiene solución

  9. Estudia la posición relativa de los planos de ecuaciones. Resuelve y clasifica el sistema asociado.

    {π1≡−x+2z+3=0π2≡−3x+6z+9=0π3≡−2x+4z+6=0\left\{ \begin{aligned}\pi_{1} & \equiv & -x+2z+3=0\\ \pi_{2} & \equiv & -3x+6z+9=0\\ \pi_{3} & \equiv & -2x+4z+6=0 \end{aligned} \right.

    Solución:

    {−x+2z=−3−3x+6z=−9−2x+4z=−6\left\{ \begin{aligned}-x+2z & = & -3\\ -3x+6z & = & -9\\ -2x+4z & = & -6 \end{aligned} \right.
    Escribamos la matriz ampliada, si podemos la simplificamos:
    (−102−3−306−9−204−6){F1⇆F1F2⇆F23F3⇆F32}⟼(−102−3−102−3−102−3){F1⇆−F1F2⇆F2F3⇆F3}⟼(10−23−102−3−102−3){F1⇆F1F2⇆F1+F2F3⇆F1+F3}⟼(10−2300000000)\left(\begin{matrix}-1 & 0 & 2 & -3\\ -3 & 0 & 6 & -9\\ -2 & 0 & 4 & -6 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & \frac{F_{2}}{3}\\ F_{3} & \leftrightarrows & \frac{F_{3}}{2} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}-1 & 0 & 2 & -3\\ -1 & 0 & 2 & -3\\ -1 & 0 & 2 & -3 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & -F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 0 & -2 & 3\\ -1 & 0 & 2 & -3\\ -1 & 0 & 2 & -3 \end{matrix}\right)\begin{Bmatrix}F_{1} & \leftrightarrows & F_{1}\\ F_{2} & \leftrightarrows & F_{1}+F_{2}\\ F_{3} & \leftrightarrows & F_{1}+F_{3} \end{Bmatrix}\longmapsto\left(\begin{matrix}1 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)
    Posición relativa:

    Rango(Mc)=1 y Rango(Ma)=1 ⇒\Rightarrow Los tres planos son el mismo

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    Resolviendo el sistema escalonado {x−2z=30=00=0\left\{ \begin{aligned}x-2z & = & 3\\ 0 & = & 0\\ 0 & = & 0 \end{aligned} \right. se obtienen de soluciones:

    [xyz]=[2τ1+3τ0τ1]\left[\begin{matrix}x\\ y\\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2\tau_{1}+3\\ \tau_{0}\\ \tau_{1} \end{matrix}\right]

    Tipo de sistema:

    Sistema compatible indeterminado

Enlaces al fichero fuente y al pdf final de una posible compilación.