Hallar el valor de un parámetro para que tres planos se corten en un recta y punto simétrico respecto de esa recta

Paco Villegas |

Se facilita un fichero LyX/pythontex que permite obtener diferentes ejercicios, cuyos datos se obtienen de forma aleatoria, en los que se pide hallar el valor de un parámetro para que tres planos se corten en una recta. Además se completa el ejercicio calculando el punto simétrico del origen de coordenadas respecto de una recta en el espacio.

Los planos que se obtienen de forma aleatoria siempre se cortan en una recta (sin que dos de ellos sean coincidentes). Además, la ecuación paramétrica de la recta intersección se obtiene usando la regla de Cramer.

Lo único que tendremos que adecuar en el fichero es:

# VALORES QUE SE PUEDEN MODIFICAR
# Valores para obtener los datos aleatorios
# Para las matrices, entre ambos valores
vm = -3
vM = 3
# El valor de beta se obtiene entre -vb y vb sin el cero
vb = 4

Un ejemplo de ejercicio generado a partir de los valores anteriores se muestra a continuación:

Ejercicio

  1. Determina el valor de β\beta para el cual los planos cuyas ecuaciones se dan a continuación contienen una misma recta: {x(β+4)+2y+z=−3x−y+3z=β+1x(β+3)+3y+z(β+1)=β+2\left\{ \begin{aligned}x\left(\beta+4\right)+2y+z & = & -3\\ x-y+3z & = & \beta+1\\ x\left(\beta+3\right)+3y+z\left(\beta+1\right) & = & \beta+2 \end{aligned} \right.
  2. Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto de la recta común a la que se refiere el apartado anterior.

Solución

  1. Como los tres planos se cortan en una recta, tenemos un SCISCI con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. En este caso rango(A)=rango(A∗)=2rango(A)=rango(A^{*})=2 y en consecuencia todos los determinantes de orden 3 que se pueden obtener de la matriz ampliada

    image

    tienen que ser nulos.

    Como el determinante de la submatriz M=(21−13)M=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}

    ∣M∣=∣21−13∣=\left|M\right|=\begin{vmatrix}2 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}=

    =[2⋅3]−=\left[2\cdot3\right]-[1(−1)]\left[1\left(-1\right)\right]=(6)−(−1)=7=\left(6\right)-\left(-1\right)=7

    es no nulo, podemos orlar a partir de esa submatriz y tenemos que todos los menores de orden 3 construidos a partir de ella han de ser cero:

    ∣A1∣=∣β+4211−13β+33β+1∣=\left|A_{1}\right|=\begin{vmatrix}\beta+4 & 2 & 1\\ 1 & -1 & 3\\ \beta+3 & 3 & \beta+1 \end{vmatrix}= ∣β+4211−13β+33β+1∣β+4211−13\begin{array}{c} \begin{vmatrix}\beta+4 & 2 & 1\\ 1 & -1 & 3\\ \beta+3 & 3 & \beta+1 \end{vmatrix}\\ \textcolor{cyan}{\begin{array}{ccc} \beta+4 & 2 & 1\\ 1 & -1 & 3 \end{array}} \end{array}

    =[(β+4)(−1)(β+1)+1⋅3⋅1+(β+3)2⋅3]−=\left[\left(\beta+4\right)\left(-1\right)\left(\beta+1\right)+1\cdot3\cdot1+\left(\beta+3\right)2\cdot3\right]-[1(−1)(β+3)+3⋅3(β+4)+(β+1)2⋅1]\left[1\left(-1\right)\left(\beta+3\right)+3\cdot3\left(\beta+4\right)+\left(\beta+1\right)2\cdot1\right]=(−β2+β+17)−(10β+35)=−β2−9β−18=\left(-\beta^{2}+\beta+17\right)-\left(10\beta+35\right)=-\beta^{2}-9\beta-18

    ⇒−β2−9β−18=0\Rightarrow-\beta^{2}-9\beta-18=0 resolviendo esa ecuación obtenemos que β=−b±b2−4ac2a\beta=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} == 9±(−9)2−4⋅(−1)⋅(−18)2⋅−1\dfrac{9\pm\sqrt{(-9)^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-18)}}{2\cdot-1} == 9±9−2\dfrac{9\pm\sqrt{9}}{-2} == 9±3−2\dfrac{9\pm{3}}{-2} ⇒\Rightarrow β={−6−3\beta=\left\{ \begin{array}{c} -6\\ -3 \end{array}\right.

    ∣A2∣=∣21−3−13β+13β+1β+2∣=\left|A_{2}\right|=\begin{vmatrix}2 & 1 & -3\\ -1 & 3 & \beta+1\\ 3 & \beta+1 & \beta+2 \end{vmatrix}= ∣21−3−13β+13β+1β+2∣21−3−13β+1\begin{array}{c} \begin{vmatrix}2 & 1 & -3\\ -1 & 3 & \beta+1\\ 3 & \beta+1 & \beta+2 \end{vmatrix}\\ \textcolor{cyan}{\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -3\\ -1 & 3 & \beta+1 \end{array}} \end{array}

    =[2⋅3(β+2)+(−1)(β+1)(−3)+3⋅1(β+1)]−=\left[2\cdot3\left(\beta+2\right)+\left(-1\right)\left(\beta+1\right)\left(-3\right)+3\cdot1\left(\beta+1\right)\right]-[(−3)3⋅3+(β+1)(β+1)2+(β+2)1(−1)]\left[\left(-3\right)3\cdot3+\left(\beta+1\right)\left(\beta+1\right)2+\left(\beta+2\right)1\left(-1\right)\right]=(12β+18)−(2β2+3β−27)=−2β2+9β+45=\left(12\beta+18\right)-\left(2\beta^{2}+3\beta-27\right)=-2\beta^{2}+9\beta+45

    ⇒−2β2+9β+45=0\Rightarrow-2\beta^{2}+9\beta+45=0 resolviendo esa ecuación obtenemos que β=−b±b2−4ac2a\beta=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} == −9±(9)2−4⋅(−2)⋅(45)2⋅−2\dfrac{-9\pm\sqrt{(9)^{2}-4\cdot(-2)\cdot(45)}}{2\cdot-2} == −9±441−4\dfrac{-9\pm\sqrt{441}}{-4} == −9±21−4\dfrac{-9\pm{21}}{-4} ⇒\Rightarrow β={−315/2\beta=\left\{ \begin{array}{c} -3\\ 15/2 \end{array}\right.

    El valor de β\beta que verifica las dos [1] es β=−3\beta=-3

  2. Para β=−3\beta=-3 el sistema queda:

    {x+2y+z=−3x−y+3z=−23y−2z=−1\left\{ \begin{aligned}x+2y+z & = & -3\\ x-y+3z & = & -2\\ 3y-2z & = & -1 \end{aligned} \right.

    y su matriz ampliada es

    image

    Ya sabemos que es un SCISCI que depende de un parámetro (se cortan en una recta), que ∣A∣=0|A|=0 y que rango(A)=rango(A∗)=2rango(A)=rango(A^{*})=2. Si lo resolvemos, por ejemplo por Cramer, podemos obtener la ecuación paramétrica de la recta.

    Tenemos que ∣A3,3∣=∣121−1∣=\left|A_{3,3}\right|=\begin{vmatrix}1 & 2\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=

    =[1(−1)]−=\left[1\left(-1\right)\right]-[2⋅1]\left[2\cdot1\right]=(−1)−(2)=−3=\left(-1\right)-\left(2\right)=-3

    A partir de lo anterior podemos reescribir el sistema como sigue:

    • Eliminamos la fila 33
    • Introducimos el parámetro z=λz=\lambda

    y quedaría que:

    {x+2y=−λ−3x−y=−3λ−2\left\{ \begin{aligned}x+2y & = & -\lambda-3\\ x-y & = & -3\lambda-2 \end{aligned} \right.

    con ∣A∣=∣121−1∣=−3|A|=\begin{vmatrix}1 & 2\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-3

    ∣Ax∣=∣−λ−32−3λ−2−1∣=\left|A_{x}\right|=\begin{vmatrix}-\lambda-3 & 2\\ -3\lambda-2 & -1 \end{vmatrix}=

    =[(−λ−3)(−1)]−=\left[\left(-\lambda-3\right)\left(-1\right)\right]-[2(−3λ−2)]\left[2\left(-3\lambda-2\right)\right]=(λ+3)−(−6λ−4)=7λ+7=\left(\lambda+3\right)-\left(-6\lambda-4\right)=7\lambda+7

    ⇒x=∣−λ−32−3λ−2−1∣−3=7λ+7−3=−7λ3−73\Rightarrow x=\dfrac{\begin{vmatrix}-\lambda-3 & 2\\ -3\lambda-2 & -1 \end{vmatrix}}{-3}=\dfrac{7\lambda+7}{-3}=-\frac{7\lambda}{3}-\frac{7}{3}

    ∣Ay∣=∣1−λ−31−3λ−2∣=\left|A_{y}\right|=\begin{vmatrix}1 & -\lambda-3\\ 1 & -3\lambda-2 \end{vmatrix}=

    =[1(−3λ−2)]−=\left[1\left(-3\lambda-2\right)\right]-[(−λ−3)1]\left[\left(-\lambda-3\right)1\right]=(−3λ−2)−(−λ−3)=1−2λ=\left(-3\lambda-2\right)-\left(-\lambda-3\right)=1-2\lambda

    ⇒y=∣1−λ−31−3λ−2∣−3=1−2λ−3=2λ3−13\Rightarrow y=\dfrac{\begin{vmatrix}1 & -\lambda-3\\ 1 & -3\lambda-2 \end{vmatrix}}{-3}=\dfrac{1-2\lambda}{-3}=\frac{2\lambda}{3}-\frac{1}{3}

    Por tanto:

    {x=−7λ3−73y=2λ3−13z=λ\left\{ \begin{aligned}x & = & -\frac{7\lambda}{3}-\frac{7}{3}\\ y & = & \frac{2\lambda}{3}-\frac{1}{3}\\ z & = & \lambda \end{aligned} \right.

    de lo anterior obtenemos que u⃗r≡(−73, 23, 1)\vec{u}_{r}\equiv\left(-\frac{7}{3},\ \frac{2}{3},\ 1\right) ≡(−7, 2, 3)\equiv\left(-7,\ 2,\ 3\right), Pr(−73, −13, 0)P_{r}\left(-\frac{7}{3},\ -\frac{1}{3},\ 0\right) y la ecuación paramétrica de rr es

    r≡r\equiv{x=−7λ−73y=2λ−13z=3λ\left\{ \begin{aligned}x & = & -7\lambda-\frac{7}{3}\\ y & = & 2\lambda-\frac{1}{3}\\ z & = & 3\lambda \end{aligned} \right.

    Para calcular el punto O′O' simétrico del origen respecto de la recta rr anterior, hayamos el plano π\pi de ecuación general Ax+By+Cz=DAx+By+Cz=D. Sabemos que:

    • es perpendicular a dicha recta ⇒\Rightarrown⃗π=u⃗r⇒{A=−7B=2C=3\vec{n}_{\pi}=\vec{u}_{r}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ccc} A & = & -7\\ B & = & 2\\ C & = & 3 \end{array}\right.
    • pasa por el origen de coordenadas O(0,0,0)⇒D=0O(0,0,0)\Rightarrow D=0

    Por tanto:

    π≡−7x+2y+3z=0\pi\equiv-7x+2y+3z=0

    Sustituyendo en la ecuación del plano π\pi los valores de la ecuación paramétrica de la recta:

    (−7)⋅(−7λ−73)+(2)⋅(2λ−13)+(3)⋅(3λ)=0\left(-7\right)\cdot\left(-7\lambda-\frac{7}{3}\right)+\left(2\right)\cdot\left(2\lambda-\frac{1}{3}\right)+\left(3\right)\cdot\left(3\lambda\right)=0⇒62λ+473=0⇒λ=−47186\Rightarrow62\lambda+\frac{47}{3}=0\Rightarrow\lambda=-\frac{47}{186}

    Al sustituir ese valor de λ\lambda en la ecuación de rr obtenemos el punto

    {x=−73−7(−47186)y=−13+2(−47186)z=3(−47186)⇒{x=−3562y=−2631z=−4762\left\{ \begin{array}{ccc} x & = & -\frac{7}{3}-7\left(-\frac{47}{186}\right)\\ y & = & -\frac{1}{3}+2\left(-\frac{47}{186}\right)\\ z & = & 3\left(-\frac{47}{186}\right) \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ccc} x & = & -\frac{35}{62}\\ y & = & -\frac{26}{31}\\ z & = & -\frac{47}{62} \end{array}\right.

    Q≡(−3562, −2631, −4762)Q\equiv\left(-\frac{35}{62},\ -\frac{26}{31},\ -\frac{47}{62}\right) es el punto medio del segmento OO′OO', aplicando la fórmula del punto medio obtenemos que el punto pedido es

    O′=O+2⋅OQ→=(0, 0, 0)+2⋅(−3562, −2631, −4762)=(−3531, −5231, −4731)O'=O+2\cdot\overrightarrow{OQ}=\left(0,\ 0,\ 0\right)+2\cdot\left(-\frac{35}{62},\ -\frac{26}{31},\ -\frac{47}{62}\right)=\left(-\frac{35}{31},\ -\frac{52}{31},\ -\frac{47}{31}\right)

Enlaces al fichero fuente y al pdf final de una posible compilación.

[1]En el programa no se controla el caso en el que los dos determinantes anteriores tengan las mismas raíces